23.(10分)如图，在平行四边形 中， 是对角线 上的两点，且 .求证: .
24.(12分)如图， ， 是 上一点， 于点 ， 的延长线 交 的延长线于点 .求证： 是等腰三角形.
25.(12分)如图，在 中， ，垂足为 ， 是 外角 的平分线， ，垂足为 .
(1)求证：四边形 为矩形.
(2)当 满足什么条件时，四边形 是一个正方形?并给出证明.
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第2章 命题与证明检测题参考答案
1.C 解析：因为三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以选项A错误;因
为对角线相等的四边形还有矩形等，所以选项B错误;因为相等的角有很多，不一定都是
对顶角，所以选项D错误.故选C.
2.D 解析：①开方开不尽的数是无理数，但无理数就是开方开不尽的数是错误的，例如 ，故①错误;②一个实数的立方根不光是正数、负数，还可能是0，故②错误;③无理数包括正无理数和负无理数，不包括0，故③错误;④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l，0或 ，故④错误.故选D.
3.B 解析：利用平行四边形的判定定理知B正确.
4.C 解析：直角梯形有两个角相等，都是90°，但它不是等腰梯形，故选项C是错误的.
5.C 解析：由四边形的两条对角线相等，知顺次连接该四边形各边中点所得的四边形的四条边相等，即所得四边形是菱形.
6.A 解析：∵ 是 的垂直平分线， 是 的中点，∴ ，
∴ ，∴ 四边形 是矩形.
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 四边形 的面积为 .
7.D 解析：①根据作图的过程可知， 是∠ 的平分线，故①正确.
②因为在△ 中，∠ 90°，∠ 30°，所以∠ 60°.
又因为 是∠ 的平分线，所以∠ ∠ ∠ 30°，
所以∠ 90°-∠ 60°，故②正确.
③因为∠ ∠ 30°，所以 ，所以点 在 的中垂线上，故③正确.
④因为在 中，∠ 30°,所以 ，
所以 ，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，故④正确.
综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个，故选D.
8.D 解析： 与60°的大小关系有 ， ， 三种情况，因而 的反面是 .因此用反证法证明“ ”时，应先假设 .故选D.
9.A 解析：由题意知 ， ，
10.A 解析：由折叠的性质知 ，则四边形 为正方形，
∴ .
11. 或 或 (答案不唯一)
12.如果 ，那么 假 解析：根据题意知，命题“如果 ，那么 ”的条件是“ ”，结论是“ ”，故逆命题是“如果 ，那么 ”，该命题是假命题.
13. (或 ， 等)
14.5 解析：∵ 分别是 和 的角平分线，
∴ ， .
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 的周长 .
15.28 解析：由勾股定理得 ，又 ，所以 ，
所以五个小矩形的周长之和为 .
16.2 解析： .
∵ 在等腰梯形 中， ，
∴ .
∵ ,∴ .
∴ .
17. ①② 解析：对于③，因为 ，其中 分别是梯形上底的长、下底的长及高，而梯形中位线 ，所以 ，即梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积.
18.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 解析：本题是一道开放型题目，只要保证命题是真命题即可.
19.证明：假设 可以互相平分，如图，
连接 ，则四边形 是平行四边形，
∴ ，这与 相矛盾.
∴ 不可能互相平分.
20.证明：如果 不都能被3整除，那么有如下两种情况：
(1) 两数中恰有一个能被3整除，
不妨设 能被3整除， 不能被3整除，
令 ( 都是整数)，
于是 ，
不能被3整除，与已知矛盾.
(2) 两数都不能被3整除，令 ( 都是整数)，则
，
不能被3整除，与已知矛盾.
由此可知， 都是3的倍数.
21.证明：∵ 四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ∴ ，故 .
22.(1)证明：由题意知 ，∴ ，∴ .
∵ ，∴ .
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ 四边形 是平行四边形 .
(2)解：当 时，四边形 是菱形 .理由如下：
∵ ，∴ .∵ 垂直平分 ，∴ .
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ 平行四边形 是菱形.
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