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高三数学教案：直线和圆的方程

[10-20 00:47:15]   来源：http://www.kmf8.com  高三数学教案   阅读：8969次
概要： 8.3圆的方程典例精析题型一求圆的方程【例1】求经过两点A(-1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.【解析】方法一：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心为(-D2，-E2)，由已知得 即解得 D=0，E=-2，F=-9，所求圆的方程为x2+y2-2y-9=0.方法二：经过A(-1,4)，B(3,2)的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上，AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1)，即y=2x+1.令x=0，y=1，圆心为(0,1)，r=(3-0)2+(2-1)2=10 ，圆的方程为x2+(y-1)2=10.【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.【变式训练1】已知一圆过P(4，-2)、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程.【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，①将P、Q两点的坐标分别代入①得令x=0，由①得y2+Ey+F=0，④由已知|y1-y2|=43，其中y1、y2是方程④的两根.所以(y1-y2)2=(y1+y2)2
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8.3　圆的方程

典例精析

题型一　求圆的方程

【例1】求经过两点A(-1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.

【解析】方法一：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心为(-D2，-E2)，

由已知得 即

解得 D=0，E=-2，F=-9，所求圆的方程为x2+y2-2y-9=0.

方法二：经过A(-1,4)，B(3,2)的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上，

AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1)，即y=2x+1.

令x=0，y=1，圆心为(0,1)，r=(3-0)2+(2-1)2=10 ，

圆的方程为x2+(y-1)2=10.

【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.

【变式训练1】已知一圆过P(4，-2)、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程.

【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，①

将P、Q两点的坐标分别代入①得

令x=0，由①得y2+Ey+F=0，④

由已知|y1-y2|=43，其中y1、y2是方程④的两根.

所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，⑤

解②、③、⑤组成的方程组，得

D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，

故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.

题型二　与圆有关的最值问题

【例2】若实数x，y满足(x-2)2+y2=3.求：

(1)yx的最大值和最小值;

(2)y-x的最小值;

(3)(x-4)2+(y-3)2的最大值和最小值.

【解析】(1)yx=y-0x-0，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此 yx的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设yx=k，y=kx，kx-y=0.

由|2k|k2+1=3，得k=±3，所以yx的最大值为3，yx的最小值为-3.

(2)令x-2=3cos α，y=3sin α，α∈[0,2π).

所以y-x=3sin α-3cos α-2=6sin(α-π4)-2，

当sin(α-π4)=-1时，y-x的最小值为-6-2.

(3)(x-4)2+(y-3)2是圆上点与点(4,3)的距离的平方，因为圆心为A(2,0)，B(4,3)，

连接AB交圆于C，延长BA交圆于D.

|AB|=(4-2)2+(3-0)2=13，则|BC|=13-3，|BD|=13+3，

所以(x-4)2+(y-3)2的最大值为(13+3)2，最小值为(13-3)2.

【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①形如U=y-bx-a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题;②形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.

【变式训练2】已知实数x，y满足x2+y2=3(y≥0).试求m=y+1x+3及b=2x+y的取值范围.

【解析】如图，m可看作半圆x2+y2=3(y≥0)上的点与定点A(-3，-1)连线的斜率，b可以看作过半圆x2+y2=3(y≥0)上的点且斜率为-2的直线的纵截距.

由图易得3-36≤m≤3+216，-23≤b≤15.

题型三　圆的方程的应用

【例3】在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.

(1)求实数b的取值范围;

(2)求圆C的方程;

(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.

【解析】(1)令x=0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，

由题意b≠0，且Δ>0，解得b<1且b≠0.

(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b.

令x=0，得y2+Ey+F=0，此方程有一个根为b，代入得出E=-b-1.

所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

(3)圆C必过定点，证明如下：

假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，

并变形为x20+y20+2x0-y0+b(1-y0)=0，(*)

为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立，必须有1-y0=0，

结合(*)式得x20+y20+2x0-y0=0，

解得 或

经检验知，点(0,1)，(-2,1)均在圆C上，因此圆C过定点.

【点拨】本题(2)的解答用到了代数法求过三点的圆的方程，体现了设而不求的思想.(3)的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题体现了较强的探究性.

【变式训练3】(2010安徽)动点A(x，y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t=0时，点A的坐标是(12，32)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)

A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[ 0,1]和[7,12]

【解析】选D.由题意知角速度为2π12=π6，故可得y=sin(π6t+π3),0≤t≤12，

π3≤π6t+π3≤π2或32π≤π6t+π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.

所以单调递增区间为[0,1]和[7,12].

总结提高

1.确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法.一般来讲，条件涉及圆上的多个点，可选择一般方程;条件涉及圆心和半径，可选圆的标准方程.

2.解决与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.解决与圆有关的最值问题时，可根据代数式子的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合解决.也可以利用圆的参数方程解决最值问题.

8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

典例精析

题型一　直线与圆的位置关系的判断

【例1】已知圆的方程x2+y2=2，直线y=x+b，当b为何值时，

(1)直线与圆有两个公共点;

(2)直线与圆只有一个公共点.

【解析】方法一：(几何法)

设圆心O(0,0)到直线y=x+b的距离为d，d=|b|12+12=|b|2，半径r=2.

当d

所以当-2

当d=r时，直线与圆相切， |b|2=2，b=±2，

所以当b=±2时，直线与圆只有一个公共点.

方法二：(代数法)

联立两个方程得方程组

消去y得2x2+2bx+b2-2=0，Δ=16-4b2.

当Δ>0，即-2

当Δ=0，即b=±2时，有一个公共点.

【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.

【变式训练1】圆2x2+2y2=1与直线xsin θ+y-1=0(θ∈R，θ≠kπ+π2，k∈Z)的位置关系是(　　)

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