【解析】因为AB∥A1B1且AB=12A1B1,所以△AOB∽△A1OB1
因为两三角形外接圆的直径之比等于相似比.
所以△A1OB1的外接圆直径为2.
总结提高
1.相似三角形的判定与性质这一内容是平面几何知识的重要组成部分,是解题的工具,同时它的内容渗透了等价转化、从一般到特殊、分类讨论等重要的数学思想与方法,在学习时应以它们为指导.相似三角形的证法有:定义法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法.
相似三角形的性质主要有对应线的比值相等(边长、高线、中线、周长、内切圆半径等),对应角相等,面积的比等于相似比的平方.
2.“平行出相似”“平行成比例”,故此章中平行辅助线是常作的辅助线之一,遇到困难时应常考虑此类辅助线.
16.2 直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质
典例精析
题型一 切线的判定和性质的运用
【例1】如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2) 若ACAB=25,求AFDF的值.
【解析】(1)证明:连接OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC,
所以OD∥AE,又AE⊥DE,所以DE⊥OD,
又OD为半径,所以DE是⊙O的切线.
(2)过D作DH⊥AB于H,则有∠DOH=∠CAB,
OHOD=cos∠DOH=cos∠CAB=ACAB=25,
设OD=5x,则AB=10x,OH=2x,所以AH=7x.
由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x,
又由△AEF∽△DOF可得AF∶DF=AE∶OD=75,
所以AFDF=75.
【变式训练1】已知在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,连接DO并延长交AC的延长线于点E,⊙O的切线DF交AC于点F.
(1)求证:AF=CF;
(2)若ED=4,sin∠E=35,求CE的长.
【解析】(1)方法一:设线段FD延长线上一点G,则∠GDB=∠ADF,且∠GDB+∠BDO=π2,所以∠ADF+∠BDO=π2,又因为在⊙O中OD=OB,∠BDO=∠OBD,所以∠ADF+∠OBD=π2.
在Rt△ABC中,∠A+∠CBA=π2,所以∠A=∠ADF,所以AF=FD.
又在Rt△ABC中,直角边BC为⊙O的直径,所以AC为⊙O的切线,
又FD为⊙O的切线,所以FD=CF.
所以AF=CF.
方法二:在直角三角形ABC中,直角边BC为⊙O的直径,所以AC为⊙O的切线,
又FD为⊙O的切线,所以FD=CF,且∠FDC=∠FCD.
又由BC为⊙O的直径可知,∠ADF+∠FDC=π2,∠A+∠FCD=π2,
所以∠ADF=∠A,所以FD=AF.
所以AF=CF.
(2)因为在直角三角形FED中,ED=4,sin∠E=35,所以cos∠E=45,所以FE=5.
又FD=3=FC,所以CE=2.
题型二 圆中有关定理的综合应用
【例2】如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O 1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.
( 1)求证:AD∥EC;
( 2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.
【解析】(1)连接AB,因为AC是⊙O1的切线,所以∠BAC=∠D,
又因为∠BAC=∠E,所以∠D=∠E,所以AD∥EC.
(2)方法一:因为PA是⊙O1的切线,PD是⊙O1的割线,
所以PA2=PB•PD,所以62=PB•(PB+9),所以PB=3.
在⊙O2 中,由相交弦定理得PA•PC=BP•PE,所以PE=4.
因为AD是⊙O2的切线,DE是⊙O2的割线,
所以AD2=DB•DE=9×16,所以AD=12.
方法二:设BP=x, PE=y.
因为PA=6,PC=2,所以由相交弦定理得PA•PC=BP•PE,即xy=12.①
因为AD∥EC,所以DPPE=APPC,所以9+xy=62.②
由①②可得 或 (舍去),所以DE=9+x+y=16.
因为AD是⊙O2的切线,DE是⊙O2的割线,所以AD2=DB•DE=9×16,所以AD=12.
【变式训练2】如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点, ,DE交AB于点F,且AB=2BP=4.
(1)求PF的长度;
(2)若圆F与圆O内切,直线PT与圆F切于点T,求线段PT的长度.
【解析】(1)连接OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系,结合题中已知条件可得∠CDE=∠AOC.
又∠CDE=∠P+∠PFD,∠AOC=∠P+∠OCP,
从而∠PFD=∠OCP,故△PFD∽△PCO,所以PFPC=PDPO.
由割线定理知PC•PD=PA•PB=12,故PF= =124=3.
(2)若圆F与圆O内切,设圆F的半径为r,
因为OF=2-r=1,即r=1,
所以OB是 圆F的直径,且过点P的圆F的切线为PT,
则PT2=PB•PO=2×4=8,即PT=22.
题型三 四点共圆问题
【例3】如图,圆O与圆P相交于A、B两点,圆心P在圆O上,圆O的弦BC切圆P于点B,CP及其延长线交圆P于D,E两点,过点E作EF⊥CE,交CB的延长线于点F.
(1)求证:B、P、E、F四点共圆;
(2)若CD=2,CB=22,求出由B、P、E、F四点所确定的圆的直径.
【解析】(1)证明:连接PB.因为BC切圆P于点B,所以PB⊥BC.
又因为EF⊥CE,所以∠PBF+∠PEF=180°,所以∠EPB+∠EFB=180°,
所以B,P,E,F四点共圆.
(2)因为B,P,E,F四点共圆,且EF⊥CE,PB⊥BC,所以此圆的直径就是PF.
因为BC切圆P于点B,且CD=2,CB=22,
所以由切割线定理CB2=CD•CE,得CE=4,DE=2,BP=1.
又因为Rt△CBP∽Rt△CEF,所以EF∶PB=CE∶CB,得EF=2.
在Rt△FEP中,PF=PE2+EF2=3,
即由B,P,E,F四点确定的圆的直径为3.
【变式训练3】如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点.连接OD交圆O于点M.求证:
(1)O,B,D,E四点共圆;
(2)2DE2=DM•AC+DM•AB.
【证明】(1)连接BE,则BE⊥EC.
又D是BC的中点,所以DE=BD.
又OE=OB,OD=OD,所以△ODE≌△ODB,
所以∠OBD=∠OED=90°,所以D,E,O,B四点共圆.
(2)延长DO交圆O于点H.
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