从而有 = = .
(2)向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
(3)向量的数量积： 叫做向量 、 的数量积，记作 。
即 = ，
向量 :
(4)性质与运算率
⑴ 。 ⑴
⑵ ⊥ =0 ⑵ =
⑶ ⑶
四.典例解析
题型1：空间向量的概念及性质
例1.有以下命题：①如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系是不共线;② 为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点 一定共面;③已知向量 是空间的一个基底，则向量 ，也是空间的一个基底。其中正确的命题是( )
①② ①③ ②③ ①②③
解析：对于①“如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系一定共线”;所以①错误。②③正确。
点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。
例2.下列命题正确的是( )
若 与 共线， 与 共线，则 与 共线;
向量 共面就是它们所在的直线共面;
零向量没有确定的方向;
若 ，则存在唯一的实数 使得 ;
解析：A中向量 为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证 不为零向量。
答案C。
点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。
题型2：空间向量的基本运算
例3.如图：在平行六面体 中， 为 与 的交点。若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是( )
解析：显然 ;
答案为A。
点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例4.已知： 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.
解： ∥ ,,且 即
又 不共面,
点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。
题型3：空间向量的坐标
例5.(1)已知两个非零向量 =(a1，a2，a3)， =(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是( )
A. ：| |= ：| | B.a1•b1=a2•b2=a3•b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使 =k
(2)已知向量 =(2，4，x)， =(2，y，2)，若| |=6， ⊥ ，则x+y的值是( )
A. -3或1 B.3或-1 C. -3 D.1
(3)下列各组向量共面的是( )
A. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)
B. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)
C. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)
D. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)
解析：(1)D;点拨：由共线向量定线易知;
(2)A 点拨：由题知 或 ;
(3)A 点拨：由共面向量基本定理可得。
点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。
例6.已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)。设 = ， = ，(1)求 和 的夹角 ;(2)若向量k + 与k -2 互相垂直，求k的值.
思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.
解：∵A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)， = ， = ，
∴ =(1，1，0)， =(-1，0，2).
(1)cos = = - ，
∴ 和 的夹角为- 。
(2)∵k + =k(1，1，0)+(-1，0，2)=(k-1，k，2)，
k -2 =(k+2，k，-4)，且(k + )⊥(k -2 )，
∴(k-1，k，2)•(k+2，k，-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。
则k=- 或k=2。
点拨：第(2)问在解答时也可以按运算律做。( + )(k -2 )=k2 2-k • -2 2=2k2+k-10=0，解得k=- ，或k=2。
题型4：数量积
例7.设 、 、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①( • ) -( • ) = ②| |-| |<| - | ③( • ) -( • ) 不与 垂直
④(3 +2 )(3 -2 )=9| |2-4| |2中，是真命题的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案：D
解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;
②由向量的减法运算可知| |、| |、| - |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真;
③因为[( • ) -( • ) ]• =( • ) • -( • ) • =0，所以垂直.故③假;
④(3 +2 )(3 -2 )=9• • -4 • =9| |2-4| |2成立.故④真.
点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。
例8.(1)已知向量 和 的夹角为120°，且| |=2，| |=5，则(2 - )• =_____.
(2)设空间两个不同的单位向量 =(x1，y1，0)， =(x2，y2，0)与向量 =(1，1，1)的夹角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值;(2)求< ， >的大小(其中0<< ， ><π 。
解析：(1)答案：13;解析：∵(2 - )• =2 2- • =2| |2-| |•| |•cos120°=2•4-2•5(- )=13。
(2)解：(1)∵| |=| |=1，∴x +y =1，∴x =y =1.
又∵ 与 的夹角为 ，∴ • =| || |cos = = .
又∵ • =x1+y1，∴x1+y1= 。
另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=( )2-1= .∴x1y1= 。
(2)cos< ， >= =x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1= ，x1y1= .∴x1，y1是方程x2- x+ =0的解.
∴ 或 同理可得 或
∵ ≠ ，∴ 或
∴cos< ， >= • + • = + = .
∵0≤< ， >≤π，∴< ， >= 。
评述：本题考查向量数量积的运算法则。
题型5：空间向量的应用
例9.(1)已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证： + + ≤4 。
(2)已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1(1，-2，1)移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。
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