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高三数学教案：抛物线经典例题讲解

[10-20 00:47:15]   来源：http://www.kmf8.com  高三数学教案   阅读：8414次
概要： ∴解析式为 ，对称轴为(2)答：在x轴、y轴上都存在点P，使△PAM中PA=PM。①P点在x轴上，且满足PA=PM时，点P坐标为(3，0)。②P点在y轴上，且满足PA=PM时，点P坐标为(0，-3)。例3. 二次函数 的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，1)。图3(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由。(2)设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当△AMC的面积为△ABC面积的 倍时，求a的值。解：(1)由图象可知： ;图象过点(0，1)，所以c=1;图象过点(1，0)，则 ;当 时，应有 ，则当 代入得 ，即所以，实数a的取值范围为 。(2)此时函数 ，要使，可求得 。例4. 如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数 的图象以及分别过C(1，0)、D(4，0)两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。图4(1)求K的值;(2)求过F、C、D三点的抛物线的解析式;(3)线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动(点P不重合于点C)，过P点作直线PQ&perp
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∴解析式为 ，

对称轴为

(2)答：在x轴、y轴上都存在点P，使△PAM中PA=PM。

①P点在x轴上，且满足PA=PM时，点P坐标为(3，0)。

②P点在y轴上，且满足PA=PM时，点P坐标为(0，-3)。

例3. 二次函数 的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，1)。

图3

(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由。

(2)设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当△AMC的面积为△ABC面积的 倍时，求a的值。

解：(1)由图象可知： ;图象过点(0，1)，所以c=1;图象过点(1，0)，则 ;

当 时，应有 ，则

当 代入

得 ，即

所以，实数a的取值范围为 。

(2)此时函数 ，

要使

，

可求得 。

例4. 如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数 的图象以及分别过C(1，0)、D(4，0)两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。

图4

(1)求K的值;

(2)求过F、C、D三点的抛物线的解析式;

(3)线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动(点P不重合于点C)，过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q。当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。

解：(1)∵点A、B在一次函数 的图象上，

∴

且

∵四边形ABDC的面积为7

∴

∴ 。

(2)由F(0，4)，C(1，0)，D(4，0)得

(3)∵PD=1×t=t

∴OP=4-t

∴

即 。

抛物线

1已知抛物线D：y2=4x的焦点与椭圆Q： 的右焦点F1重合，且点 在椭圆Q上。(Ⅰ)求椭圆Q的方程及其离心率;(Ⅱ)若倾斜角为45°的直线l过椭圆Q的左焦点F2，且与椭圆相交于A，B两点，求△ABF1的面积。

解：(Ⅰ)由题意知，抛物线 的焦点为(1，0)

∴椭圆Q的右焦点F1的坐标为(1，0)。∴ ①

又点 在椭圆Q上， ∴ 即 ②

由①②，解得 ∴椭圆Q的方程为 ∴离心离

(Ⅱ)由(Ⅰ)知F2(-1，0)∴直线l的方程为 设

由方程组 消y整理，得

∴

又点F1到直线l的距离 ∴

2如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为 的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积

解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中-5

-4)x+m2=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m-4)2-

4m2=16(1-m)>0,解得m<1,又-5

设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4-2m，x1•x2=m2,∴|MN|=4 点A到直线l的距离为d=

∴S△=2(5+m) ,从而S△2=4(1-m)(5+m)2=2(2-2m)•(5+m)(5+m)≤2( )3=128

∴S△≤8 ,当且仅当2-2m=5+m,即m=-1时取等号 故直线l的方程为y=x-1，△AMN的最大面

积为8

解法二 由题意，可设l与x轴相交于B(m,0), l的方程为x = y +m,其中0

由方程组 ,消去x,得y 2-4 y -4m=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，

∴方程①的判别式Δ=(-4)2+16m=16(1+m)>0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1•y 2=-4m,

∴S△= =

4 =4

∴S△≤8 ,当且仅当 即m=1时取等号

故直线l的方程为y=x-1，△AMN的最大面积为8

3已知O为坐标原点，P( )( )为 轴上一动点，过P作直线交抛物线 于A、B两点，设S△¬¬AOB= ，试问： 为何值时，t取得最小值，并求出最小值。

解：交AB与 轴不重叠时，设AB的方程为

合 消y可得：

设A B 则 ， 交AB与x轴重叠

时，上述结论仍然成立

∴

又 ∴

≥ 当 时 取“=”， 综上 当

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