因为α∈(0，π)，所以0<α<π4，
又π2<β<π，所以-π<2α-β<0，所以2α-β=-3π4.
【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.
【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α+β)=2sin α，则α与β的大小关系是( )
A.α=β B.α<β
C.α>β D.以上都有可能
【解析】方法一：因为2sin α=sin(α+β)≤1，所以sin α≤12，又α是锐角，所以α≤30°.
又当α=30°，β=60°时符合题意，故选B.
方法二：因为2sin α=sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
所以sin α
又因为α、β是锐角，所以α<β，故选B.
总结提高
1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.
(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题;
(2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”;
(3)掌握角的演变规律，如“2α=(α+β)+(α-β)”等.
2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.
5.4 三角恒等变换
典例精析
题型一 三角函数的求值
【例1】已知0<α<π4，0<β<π4，3sin β=sin(2α+β)，4tan α2=1-tan2α2，求α+β的值.
【解析】由4tan α2=1-tan2α2，得tan α= =12.
由3sin β=sin(2α+β)得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]，
所以3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α，
即2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α，所以tan(α+β)=2 tan α=1.
又因为α、β∈(0，π4)，所以α+β=π4.
【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.
【变式训练1】如果tan(α+β)=35，tan(β-π4)=14，那么tan(α+π4)等于( )
A.1318 B.1322 C.723 D.318
【解析】因为α+π4=(α+β)-(β-π4)，
所以tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)]=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=723.
故选C.
题型二 等式的证明
【例2】求证：sin βsin α=sin(2α+β)sin α-2co s(α+β).
【证明】证法一：
右边=sin [(α+β)+α]-2cos(α+β)sin αsin α=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin αsin α
=sin [(α+β)-α]sin α=sin βsin α=左边.
证法二：sin(2α+β)sin α-sin βsin α=sin(2α+β)-sin βsin α=2cos(α+β)sin αsin α=2cos(α+β)，
所以sin(2α+β)sin α-2cos(α+β)=sin βsin α.
【点拨】证法一将2α+β写成(α+β)+α，使右端的角形式上一致，易于共同运算;证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.
【变式训练2】已知5sin α=3sin(α-2β)，求证：tan(α-β)+4tan β=0.
【证明】因为5sin α=3sin(α-2β)，所以5sin[(α-β)+β]=3sin[(α-β)-β]，
所以5sin(α-β)cos β+5cos(α-β)sin β=3sin(α-β)cos β-3cos(α-β)sin β，
所以2sin(α-β)cos β+8cos(α-β)sin β=0.
即tan(α-β)+4tan β=0.
题型三 三角恒等变换的应用
【例3】已知△ABC是非直角三角形.
(1)求证：tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;
(2)若A>B且tan A=-2tan B，求证：tan C=sin 2B3-cos 2B;
(3)在(2)的条件下，求tan C的最大值.
【解析】(1)因为C=π-(A+B)，
所以tan C=-tan(A+B)=-(tan A+tan B)1-tan Atan B，
所以tan C-tan Atan Btan C=-tan A-tan B，
即tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
(2)由(1)知tan C=-(tan A+tan B)1-tan Atan B=tan B1+2tan2B=sin Bcos Bcos2B+2sin2B=
=sin 2B2(2-1+cos 2B2)=sin 2B3-cos 2B.
(3)由(2)知tan C=tan B1+2tan2B=12tan B+1tan B≤122=24，
当且仅当2tan B=1tan B，即tan B=22时，等号成立.
所以tan C的最大值为24.
【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.
【变式训练3】在△ABC中，tan B+tan C+3tan Btan C=3，3tan A+3tan B+1=tan Atan B，试判断△ABC的形状.
【解析】由已知得tan B+tan C=3(1-tan Btan C)，
3(tan A+tan B)=-(1-tan Atan B)，
即tan B+tan C1-tan Btan C=3，tan A+tan B1-tan Atan B=-33.
所以tan(B+C)=3，tan(A+B)=-33.
因为0
又A+B+C=π，故A=2π3，B=C=π6.
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