【答案】(1)根据已知条件可设抛物线对应的函数解析式为y=a(x―1)•(x―5)，………………(1分)
把点A(0，4)代入上式，得a=45.………………(2分)
∴y=45(x―1)(x―5)=45x2―245x+4=―45(x―3)2―165.………………(3分)
∴抛物线的对称轴是x=3.…………(4分)
(2)点P的坐标为(6，4).………………(8分)
(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大，由题意可设点N的坐标为(t，45t2―245t+4)(0
如图，过点N作NG∥y轴交AC于点G，连接AN、CN.由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为：y=―45x+4.………………(10分)
把x=t代入y=―45x+4得y=―45t+4，
则G(t，―45t+4).………………(11分)
此时NG=―45t+4―(45t2―245t+4)=―45t2+205t.………………(12分)
∴S△NAC=12NG•OC=12(-45t2+205t)×5
=―2t2+10t=―2(t-52)2+252.………………(13分)
又∵0
∴当t=52时，△CAN的面积最大，最大值为252 .………………(14分)
t=52时，45 t2-245t+4=-3.………………(15分)
∴点N的坐标为(52，-3).……………………(16分)
【点评】本题是一道二次函数、一次函数、三角形的综合题，其中第(3)问也是一道具有难度的“存在性”探究问题.本题主要考查二次函数、一次函数的图象与性质的应用.
专项十 阅读理解题
19. (2012山东省临沂市，19，3分)读一读：式子“1+2+3+4+……+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 ，这里“ ”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算 = .
【解析】式子“1+2+3+4+……+100”的结果是 ，即 = ;
又∵ ， ，………，
∴ = + +…+ =1- ，
∴ = = + +…+ =1- = .
【答案】
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.此题重点除首位两项外，其余各项相互抵消的规律.
23. (2012浙江省嘉兴市，23，12分)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′ C′ ,即如图①,∠BAB′ =θ, ,我们将这种变换记为.
(1)如图①,对△ABC作变换得△AB′ C′ ,则 : =_______;直线BC与
直线B′C′所夹的锐角为_______度;
(2)如图② ,△ABC中,∠BAC=30° ,∠ACB=90° ,对△ABC作变换得△AB′ C′ ,使
点B、C、 在同一直线上,且四边形ABB′C′为矩形,求θ和n的值;
(3)如图③ ,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36° ,BC=1,对△ABC作变换得△AB′C′ ,
使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,求θ和n的值.
【解析】(1) 由题意知, θ为旋转角, n为位似比.由变换和相似三角形的面积比等于相似比的平方,得 : = 3, 直线BC与直线B′C′所夹的锐角为60°;
(2)由已知条件得θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=60°.由直角三角形中, 30°锐角所对的直角边等于斜边的一半得n= =2.
(3) 由已知条件得θ=∠CAC′=∠ACB=72°.再由两角对应相等,证得△ABC∽△B′BA,由相似三角形的性质求得n= = .
【答案】(1) 3;60°.
(2) ∵四边形ABB′C′是矩形,∴∠BAC′=90°.
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°.
在Rt△ABB′中，∠ABB′=90°, ∠BAB′=60°,
∴n= =2.
(3) ∵四边形ABB′C′是平行四边形,∴AC′∥BB′,又∵∠BAC=36°
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°
∴∠C′AB′=∠ABB′=∠BAC=36°,而∠B=∠B,
∴△ABC∽△B′BA,∴AB2=CB•B′B=CB•(BC+CB′),
而CB′=AC=AB=B′C′, BC=1, ∴AB2=1•(1+AB)
∴AB= ,∵AB>0,
∴n= = .
【点评】本题是一道阅读理解题.命题者首先定义了一种变换,要求考生根据这种定义解决相关的问题. 读懂定义是解题的关键所在.
本题所涉及的知识点有相似三角形的面积比等于相似比的平方,黄金比等.
27.(2011江苏省无锡市，27，8′)
对于平面直角坐标系中的任意两点 ,我们把 叫做 两点间的直角距离，记作 .
(1)已知O为坐标原点，动点 满足 =1，请写出 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中出所有符合条件的点P所组成的图形;
(2)设 是一定点， 是直线 上的动点，我们把 的最小值叫做 到直线 的直角距离，试求点M(2,1)到直线 的直角距离。
【解析】本题是信息给予题，题目中已经把相关概念进行阐述，按照给出的定义题就可以。(1)已知O(0,0)和 利用定义可知
= ;(2)由 = ，
则 利用绝对值的几何意义可以求出点M(2,1)到直线 的直角距离为3.
【答案】解：(1)有题意，得 ，
所有符合条件的点P组成的图形如图所示。
(2)∵
∴x可取一切实数， 表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3.
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