26.(10分)在△ 中， ，AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的
延长线于点M， .
(1 )求 的大小.
(2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠ 的大小.
(3)你认为存在什么样的规律?试用一句话说明.(请同学们自己画图)
(4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改?
第一章 证明(二)检测题参考答案
一、选择题
1.B 解析：只有②④正确.
2. C 解析:∵ △ABC是等腰三角形，
∴ AB=AC，∠B=∠C.
∵ DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，即 ，
∴ △ADE≌△DAC，∴ ∠E=∠C，∴ ∠B=∠E，AB=DE.
但是四边形ABDE不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，故选C.
3.B 解析：因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
.又因为 ，
所以 ，
所以 所以
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4. D 解析: 4的平方根是±2，有两边和一角相等的两个三角形不一定全等.故命题①②都是假命题，只有命题③是真命题，故选D.
5.A 解析：设等边三角形的边长为a，
则
6.D 解析：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，所以△ABC为直角三角形，且∠C为直角.
又因为最短边 cm，则最长边 cm.
7.D 解析：因为等腰三角形的顶角是底角的4倍，所以顶角
是 120°，底角是30°.如图，在△ 中，
则
8.C 解析：A.两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故A项错误;
B.有一腰及顶角对应相等的两个等腰三角形全等，故B项错误;
C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确;
D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，D项错误.
9.B 解析：设此直角三角形为△ABC，其中 因为直角三角形斜边的长等于其中线长的2倍，所以 又因为其周长是 ，所以 .两边平方得 ， .由勾股定理知 ，所以 .
10.D 解析：因为 垂直平分 ，所以 .所以△ 的周
长 (cm).
二、填空题
11. 100° 解析:如图所示，由AB=AC，AO平分∠BAC得AO
所在直线是线段BC的垂直平分线，连接OB，则OB=OA=OC，
所以∠OAB=∠OBA= ×50°=25°，
得∠BOA=∠COA=
所以∠OBC=∠OCB= =40°.
由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.
12. 直角 解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三角形的
一个顶点;锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部;钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.
13.在△ABC和△ADC中，如果 那
么
14.20 cm 解析:根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案.
15. 1∶3 解析：因为 ，F是AB的中点，所以 .在Rt△ 中，因为 ，所以 .又 ，所 .
16. 16或17 解析:当等腰三角形的腰长为5时，其周长为5×2+6=16;
当等腰三角形的腰长为6时，其周长为6×2+5=17.∴ 这个等腰三角形的周长为16或17.
17. 解析: ∵ ∠BAC=120 ，AB=AC，
∴ ∠B= ∠C=
∵ AC的垂直平分线交BC于点D，∴ AD=CD. ∴
∴
18. 85 解析:∵ ∠BDM =180°-100°-30°=50°，∴∠BMD =180°-50°-45°=85°.
三、解答题
19. 证明：∵ ， ，
∴ ∥ ，∴ .
又∵ 为∠ 的平分线，
∴ ，∴ ，
∴ .
20. 分析：应用：分PB=PC，PA=PC，PA=PB三种情况讨论.
探究：同上分三种情况讨论.
解：应用：若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC.
∵ CD为等边三角形的高，∴ AD=BD，∠PCB=30°，
∴ ∠PBD=∠PBC=30°，∴ PD= DB= AB，
与已知PD= AB矛盾，∴ PB≠PC.
若PA=PC，连接PA，同理，可得PA≠PC.
若PA=PB，由PD= AB，得PD=BD，∴ ∠BPD=45°，所以∠APB=90°.
探究：若PB=PC，设PA=x，则x2+32=(4-x)2，∴ x= ，即PA= .
若PA=PC，则PA=2.
若PA=PB，由图(2)知，在Rt△PAB中，不可能.故PA=2或 .
点拨：分类讨论问题要做到不重、不漏.
21. 分析：从条件BD平分∠ABC，可联想到角平分线定理的基本图形，故要作垂线段.
证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，
过D作 于点F.因为BD平分∠ABC，所以 .
在Rt△EAD和Rt△FCD中， ，
所以Rt△EAD≌Rt△FCD(HL).
所以∠ =∠ .因为∠ ∠ 80°，
所以∠ ∠ .
22. 解：因为△ABD和△CDE是等边三角形，
所以 ， ∠ ∠ 60°.
所以∠ ∠ ∠ ∠ ，即∠
∠ .在△ 和△ 中，因为
所以△ ≌△ ，所以 .又 ，所以 .
在等腰直角△ 中， ，故 .
23.解： ，BE⊥EC.
证明：∵ ，点D是AC的中点，∴ .
∵ ∠ ∠ 45°，∴ ∠ ∠ 135°.
∵ ，∴ △EAB≌△EDC.
∴ ∠ ∠ ， .
∴ ∠ ∠ 90°.∴ ， ⊥ .
24. 解：已知：如图，在△ 中， ，求证：∠ ∠ .
证明：假设∠ ∠ ，那么根据“等角对等边”可得 ，但已知条件
是 相矛盾，因此∠ ∠ .
25.证明：∵ ，∴ ∠ ∠ .∵ 于 ，∴ ∠ ∠ .
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