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高一数学练习：高一数学第一章综合检测解答题
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)已知sinθ=1-a1+a，cosθ=3a-11+a，若θ为第二象限角，求实数a的值.
[解析] ∵θ为第二象限角，∴sinθ>0，cosθ<0.
∴1-a1+a>0，3a-11+a<0，解之得，-1
又∵sin2θ+cos2θ=1，∴1-a1+a2+3a-11+a2=1，
解之，得a=19或a=1(舍去).
故实数a的值为19.
18.(本题满分12分)若集合M=θsinθ≥12，0≤θ≤π，N=θcosθ≤12，0≤θ≤π，求M∩N.
[解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N和集合M对应的部分，然后求M∩N.
首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y=12.如图.
结合图象得集合M、N分别为
M=θπ6≤θ≤5π6，N=θπ3≤θ≤π.
得M∩N=θπ3≤θ≤5π6.
解法二：利用单位圆中的三角函数线确定集合M、N.
作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示.
由单位圆中的三角函数线知
M=θπ6≤θ≤5π6，
N=θπ3≤θ≤π.
由此可得M∩N=θπ3≤θ≤5π6.
19.(本题满分12分)已知cosx+siny=12，求siny-cos2x的最值.
[解析] ∵cosx+siny=12，∴siny=12-cosx，
∴siny-cos2x=12-cosx-cos2x
=-cosx+122+34，
∵-1≤siny≤1，∴-1≤12-cosx≤1，
解得-12≤cosx≤1，
所以当cosx=-12时，(siny-cos2x)max=34，
当cosx=1时，(siny-cos2x)min=-32.
[点评] 本题由-1≤siny≤1求出-12≤cosx≤1是解题的关键环节，是易漏掉出错的地方.
20.(本题满分12分)已知y=a-bcos3x(b>0)的最大值为32，最小值为-12.
(1)求函数y=-4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x;
(2)判断其奇偶性.
[解析] (1)∵y=a-bcos3x，b>0，
∴ymax=a+b=32ymin=a-b=-12，解得a=12b=1，
∴函数y=-4asin(3bx)=-2sin3x.
∴此函数的周期T=2π3，
当x=2kπ3+π6(k∈Z)时，函数取得最小值-2;
当x=2kπ3-π6(k∈Z)时，函数取得最大值2.
(2)∵函数解析式f(x)=-2sin3x，x∈R，
∴f(-x)=-2sin(-3x)=2sin3x=-f(x)，
∴y=-2sin3x为奇函数.
21.(本题满分12分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示.试依图推出：
(1)f(x)的最小正周期;
(2)f(x)的单调递增区间;
(3)使f(x)取最小值的x的取值集合.
[解析] (1)由图象可知，T2=74π-π4=32π，
∴T=3π.
(2)由(1)可知当x=74π-3π=-54π时，函数f(x)取最小值，
∴f(x)的单调递增区间是-54π+3kπ，π4+3kπ(k∈Z).
(3)由图知x=74π时，f(x)取最小值，
又∵T=3π，∴当x=74π+3kπ时，f(x)取最小值，
所以f(x)取最小值时x的集合为
xx=74π+3kπ，k∈Z.
22.(本题满分14分)函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a)(a∈R).
(1)求g(a);
(2)若g(a)=12，求a及此时f(x)的最大值.
[解析] (1)由f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x
=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)
=2cos2x-2acosx-(2a+1)
=2cosx-a22-a22-2a-1.这里-1≤cosx≤1.
①若-1≤a2≤1，则当cosx=a2时，f(x)min=-a22-2a-1;
②若a2>1，则当cosx=1时，f(x)min=1-4a;
③若a2<-1，则当cosx=-1时，f(x)min=1.
因此g(a)=1 (a<-2)-a22-2a-1 (-2≤a≤2)1-4a (a>2).
(2)∵g(a)=12.
∴①若a>2，则有1-4a=12，得a=18，矛盾;
②若-2≤a≤2，则有-a22-2a-1=12，
即a2+4a+3=0，∴a=-1或a=-3(舍).
∴g(a)=12时，a=-1.
此时f(x)=2cosx+122+12，
当cosx=1时，f(x)取得最大值为5.
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