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高二数学试题:最新一年高二数学期末试题答案二
一、选择题
1.D【解析】由图像可知f(x)在(-∞,0)递减,在(0,+∞)递增,所以f(2a+b)<1即2a+b<4,原题等价于
,求a+1(b+1)的取值范围.画出不等式组表示的可行区域,利用直线斜率的意义可得a+1(b+1)∈,5(1).
二、填空题
2.-1【解析】思路分析:按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于k的方程求解.
f′(x)=(x+k)(x+2k)(x-3k)+x(x+2k)(x-3k)+x(x+k)(x-3k)+x(x+k)(x+2k)
故f′(0)=-6k3,又f′(0)=6,故k=-1.
三、解答题
3.解:(1)设投放B型电视机的金额为x万元,则投放A型电视机的金额为(10-x)万元,农民得到的总补贴f(x)=10(1)(10-x)+mln(x+1)=mln(x+1)-10(x)+1,(1≤x≤9).(5分)(没有指明x范围的扣1分)
(2)f′(x)=x+1(m)-10(1)=x+1(x+1)=x+1(10m-1]),
令y′=0,得x=10m-1(8分)
1°若10m-1≤1即0<m≤5(1),则f(x)在[1,9]为减函数,当x=1时,f(x)有最大值;新课 标第 一 网
2°若1<10m-1<9即5(1)<1,则F(X)在[1,10M-1)是增函数,在(10M-1,9]是减函数,当X=10M-1时,F(X)有最大值;< p>
3°若10m-1≥9即m≥1,则f(x)在[1,9]是增函数,当x=9时,f(x)有最大值.
因此,当0<m≤5(1)时,投放B型电视机1万元,农民得到的总补贴最大.
当5(1)<1时,投放B型电视机(10M-1)万元,农民得到的总补贴最大;< p>
当m≥1时,投放B型电视机9万元,农民得到的总补贴最大.(13分)
4.解:(1)依题意,得a=2,e=a(c)=2(3),∴c=,b==1;
故椭圆C的方程为4(x2)+y2=1.(3分)
(2)方法一:点M与点N关于x轴对称,
设M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨设y1>0.
由于点M在椭圆C上,
所以y1(2)=1-1().(*)(4分)
由已知T(-2,0),则=(x1+2,y1),=(x1+2,-y1),
∴·=(x1+2,y1)·(x1+2,-y1)=(x1+2)2-y1(2)=(x1+2)2-1()=4(5)x1(2)+4x1+3
方法二:点M与点N关于x轴对称,故设M(2cos θ,sin θ),N(2cos θ,-sin θ),
不妨设sin θ>0,由已知T(-2,0),则
·=(2cos θ+2,sin θ)·(2cos θ+2,-sin θ)=(2cos θ+2)2-sin2θ=5cos2θ+8cos θ+3=55(4)2-5(1).(6分)
故当cos θ=-5(4)时,·取得最小值为-5(1),此时M5(3),
又点M在圆T上,代入圆的方程得到r2=25(13).
故圆T的方程为:(x+2)2+y2=25(13).(8分)
(3)方法一:设P(x0,y0),则直线MP的方程为:
y-y0=x0-x1(y0-y1)(x-x0),
令y=0,得xR=y0-y1(x1y0-x0y1),同理:xS=y0+y1(x1y0+x0y1),(10分)
故xR·xS=1(2)(**)(11分)
又点M与点P在椭圆上,故x0(2)=4(1-y0(2)),x1(2)=4(1-y1(2)),(12分)
代入(**)式,得:xR·xS=1(2)=1(2)=4.
所以·=·==4为定值.(13分)
方法二:设M(2cos θ,sin θ),N(2cos θ,-sin θ),不妨设sin θ>0,P(2cos α,sin α),其中sin α≠±sin θ.则直线MP的方程为:y-sin α=2cos α-2cos θ(sin α-sin θ)(x-2cos α),
令y=0,得xR=sin α-sin θ(sin αcos θ-cos αsin θ),
同理:xS=sin α+sin θ(sin αcos θ+cos αsin θ),(12分)
故xR·xS=sin2α-sin2θ(sin2αcos2θ-cos2αsin2θ)=sin2α-sin2θ(sin2α-sin2θ)=4.
所以·=·==4为定值.(13分)
5.解:(1)f的反函数g(x)=ln x.设直线y=kx+1与g(x)=ln x相切于点P(x0,y0),则
?x0=e2,k=e-2.所以k=e-2.(3分)
(2)当x>0,m>0时,曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)的公共点个数
即方程f(x)=mx2根的个数.
由f(x)=mx2?m=x2(ex),令v(x)=x2(ex)?v′(x)=x4(x-2),
则v(x)在(0,2)上单调递减,这时v(x)∈(v(2),+∞);
v(x)在(2,+∞)上单调递增,这时v(x)∈(v(2),+∞).v(2)=4(e2).
v(2)是y=v(x)的极小值,也是最小值.(5分)
所以对曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数,讨论如下:
当m∈4(e2)时,有0个公共点;
当m=4(e2)时,有1个公共点;
当m∈,+∞(e2)时有2个公共点;(8分)
(3)令F(x)=x2h(x),则F′(x)=x2h′(x)+2xh=x(ex)
所以h=x2(x),故h′=x4(x)=x3(x)=x3(x)
令G(x)=ex-2F(x),则G′(x)=ex-2F′(x)=ex-2·x(ex)=x(x-2)
显然,当0<2时,G′(X)<0,G(X)单调递减;< p>
当x>2时,G′(x)>0,G(x)单调递增;
所以,在(0,+∞)范围内,G(x)在x=2处取得最小值G(2)=0.
即x>0时,ex-2F(x)≥0.
故在(0,+∞)内,h′(x)≥0,
所以h(x)在(0,+∞)单调递增,
又因为h(2)=8(2)=8(e2)>8(7),h(2)< p>
所以h(e)>8(7).(14分)
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