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高三数学教案：简单的线性规划

[10-20 00:47:15]   来源：http://www.kmf8.com  高三数学教案   阅读：8340次
概要： 【摘要】鉴于大家对www.kmf8.com十分关注，小编在此为大家搜集整理了此文“高三数学教案：简单的线性规划”，供大家参考!本文题目：高三数学教案：简单的线性规划7.4 简单的线性规划●知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P(x0，y0).B>0时，①Ax0+By0+C>0，则点P(x0，y0)在直线的上方;②Ax0+By0+C<0，则点P(x0，y0)在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.当B>0时，①Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;②Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域);使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产
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【摘要】鉴于大家对www.kmf8.com十分关注，小编在此为大家搜集整理了此文“高三数学教案：简单的线性规划”，供大家参考!

本文题目：高三数学教案：简单的线性规划

7.4 简单的线性规划

●知识梳理

1.二元一次不等式表示平面区域

在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P(x0，y0).

B>0时，①Ax0+By0+C>0，则点P(x0，y0)在直线的上方;②Ax0+By0+C<0，则点P(x0，y0)在直线的下方.

对于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.

当B>0时，①Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;②Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.

2.线性规划

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域);使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.

线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：

(1)根据题意，设出变量x、y;

(2)找出线性约束条件;

(3)确定线性目标函数z=f(x，y);

(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域);

(5)利用线性目标函数作平行直线系f(x，y)=t(t为参数);

(6)观察图形，找到直线f(x，y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.

●点击双基

1.下列命题中正确的是

A.点(0，0)在区域x+y≥0内

B.点(0，0)在区域x+y+1<0内

C.点(1，0)在区域y>2x内

D.点(0，1)在区域x-y+1>0内

解析：将(0，0)代入x+y≥0，成立.

答案：A

2.(2005年海淀区期末练习题)设动点坐标(x，y)满足

(x-y+1)(x+y-4)≥0，

x≥3，

A. B. C. D.10

解析：数形结合可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10.

答案：D

2x-y+1≥0，

x-2y-1≤0，

x+y≤1

A.正三角形及其内部

B.等腰三角形及其内部

C.在第一象限内的一个无界区域

D.不包含第一象限内的点的一个有界区域

解析：将(0，0)代入不等式组适合C，不对;将( ， )代入不等式组适合D，不对;又知2x-y+1=0与x-2y-1=0关于y=x对称且所夹顶角α满足

tanα= = .

∴α≠ .

答案：B

4.点(-2，t)在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是________________.

解析：(-2，t)在2x-3y+6=0的上方，则2×(-2)-3t+6<0，解得t> .

答案：t>

5.不等式组 表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有____________个.

解析：(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个.

答案：3

●典例剖析

【例1】 求不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面区域的面积.

剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.

解：|x-1|+|y-1|≤2可化为

x≥1， x≥1， x≤1， x≤1，

y≥1， y≤1， y≥1， y≤1，

x+y ≤4 x-y ≤2 y-x ≤2 x+y≥0.

其平面区域如图.

∴面积S= ×4×4=8.

评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.

深化拓展

若再求：① ;② 的值域，你会做吗?

答案： ①(-∞，- ]∪[ ，+∞);②[1，5].

【例2】 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h(4≤v≤20)从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w≤100)自B港向距300 km的C市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h.

(1)作图表示满足上述条件的x、y范围;

(2)如果已知所需的经费

p=100+3×(5-x)+2×(8-y)(元)，

那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?

剖析：由p=100+3×(5-x)+2×(8-y)可知影响花费的是3x+2y的取值范围.

解：(1)依题意得v= ，w= ，4≤v≤20，30≤w≤100.

∴3≤x≤10， ≤y≤ . ①

由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，即9≤x+y≤14.②

因此，满足①②的点(x，y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).

(2)∵p=100+3•(5-x)+2•(8-y)，

∴3x+2y=131-p.

设131-p=k，那么当k最大时，p最小.在通过图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为- 的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10，4)，即当x=10，y=4时，p最小.

此时，v=12.5，w=30，p的最小值为93元.

评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.

【例3】 某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?

剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.

解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么

x+y≤9，

10×6x+6×8x≥360，

0≤x≤4，

0≤y≤7.

z=252x+160y，

其中x、y∈N.

作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.

作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点(2，5)时，满足上述要求.

此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.

答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.

评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f(x，y)=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.

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