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理科高三数学教案：三角函数

[10-20 00:47:15]   来源：http://www.kmf8.com  高三数学教案   阅读：8803次
概要： 【变式训练2】在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足(2a-c)cos B=bcos C.(1)求角B的大小;(2)若b=7，a+c=4，求△ABC的面积.【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C，代入(2a-c)cos B=bcos C，整理得2sin Acos B=sin Bcos C+sin C cos B，即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A，在△ABC中，sin A>0,2cos B=1，因为∠B是三角形的内角，所以B=60°.(2)在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac-2ac cos B，将b=7，a+c=4代入整理，得ac=3.故S△ABC=12acsin B=32sin 60°=334.题型三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】(2010陕西)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮
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【变式训练2】在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足(2a-c)cos B=

bcos C.

(1)求角B的大小;

(2)若b=7，a+c=4，求△ABC的面积.

【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得

a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C，

代入(2a-c)cos B=bcos C，

整理得2sin Acos B=sin Bcos C+sin C cos B，

即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A，

在△ABC中，sin A>0,2cos B=1，

因为∠B是三角形的内角，所以B=60°.

(2)在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B

=(a+c)2-2ac-2ac cos B，

将b=7，a+c=4代入整理，得ac=3.

故S△ABC=12acsin B=32sin 60°=334.

题型三　正、余弦定理在实际问题中的应用

【例3】(2010陕西)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救 援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点需要多长时间?

【解析】由题意知AB=5(3+3)(海里)，∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45°=45°，所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.

在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB=ABsin∠ADB，

所以DB= =

= =53(3+1)3+12=103(海里).

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°，BC=203海里，

在△DBC中，由余弦定理得

CD2=BD2+BC2-2BD BC cos∠DBC=300+1 200-2×103×203×12=900，

所以CD=30(海里)，则需要的时间t=3030=1(小时).

所以，救援船到达D点需要1小时.

【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是：

(1)根据题意，抽象地构造出三角形;

(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系;

(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解;

(4)给出结论.

【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件　　　时，该船没有触礁危险.

【解析】由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得BMsin(90°-α)=msin(α-β)，解得BM=mcos αsin(α-β)，要使船 没有触礁危险需要BMsin(90°-β)=mcos αcos βsin(α-β)>n.所以α与β的关系满足mcos αcos β>nsin(α-β)时，船没有触礁危险.

总结提高

1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A>B与sin A>sin B是一种等价关系.

2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.

3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.

5.8 三角函数的综合应用

典例精析

题型一　利用三角函数的性质解应用题

【例1】如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形 停车场，使矩形的一个顶点P在 上，相邻两边CQ、CR分别落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.

【解析】如图，连接AP，过P作PM⊥AB于M.

设∠PAM=α，0≤α≤π2，

则PM=90sin α，AM=90cos α，

所以PQ=100-90cos α，PR=100-90sin α，

于是S四边形PQCR=PQ•PR

=(100-90cos α)(100-90sin α)

=8 100sin αcos α-9 000(sin α+cos α)+10 000.

设t=sin α+cos α，则1≤t≤2，sin αcos α=t2-12.

S四边形PQCR=8 100•t2-12-9 000t+10 000

=4 050(t-109)2+950 (1≤t≤2).

当t=2时，(S四边形PQCR)max=14 050-9 0002 m2;

当t=109时，(S四边形PQCR)min=950 m2.

【点拨】同时含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函数求最值时，可设sin θ±cos θ=t，把sin θcos θ用t表示，从而把问题转化成关于t的二次函数的最值问题.注意t的取值范围.

【变式训练1】若0

A.4x>sin 3x B.4x

C.4x≥sin 3x D.与x的值有关

【解析】令f(x)=4x-sin 3x，则f′(x)=4-3cos 3x.因为f′(x)=4-3cos 3x>0，所以f(x)为增函数.又0f(0)=0，即得4x-sin 3x>0.所以4x>sin 3x.故选A.

题型二　函数y=Asin(ωx+φ)模型的应用

【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y=f(t).下表是某日各时的浪花高度数据.

经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos ωt+b.

(1)根据以上数据，求出函数y=Acos ωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式;

(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动?

【解析】(1)由表中数据知，周期T=12，所以ω=2πT=2π12=π6.

由t=0，y=1.5，得A+b=1.5，由t=3，y=1.0，得b=1.0，

所以A=0.5，b=1，所以振幅为12.所以y=12cos π6t+1.

(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，

所以12cos π6t+1>1，所以cos π6t>0，

所以2kπ-π2<π6t<2kπ+π2，即12k-3

因为0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t<3或9

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