-3c,x0-(-a2c)=x0-(-3c)⇒c2a2=13⇒e=33.故选B.
总结提高
1.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系数的几何意义明确,在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件,要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位),还要确定a、 b的值(即定量),若定位条件不足应分类讨论,或设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)求解.
2.充分利用定义解题,一方面,会根据定义判定动点的轨迹是椭圆,另一方面,会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.
3.焦点三角形包含着很多关系,解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手,且不可顾此失彼,另外一定要注意椭圆离心率的范围.
9.2 双曲线
典例精析
题型一 双曲线的定义与标准方程
【例1】已知动圆E与圆A:(x+4)2+y2=2外切,与圆B:( x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心E的轨迹方程.
【解析】设动圆E的半径为r,则由已知|AE|=r+2,|BE|=r-2,
所以|AE|-|BE|=22,又A(-4,0),B(4,0),所以|AB|=8,22<|AB|.
根据双曲线定义知,点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.
因为a=2,c=4,所以b2=c2-a2=14,
故点E的轨迹方程是x22-y214=1(x≥2).
【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件,结合双曲线定义求解,要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.
【变式训练1】P为双曲线x29-y216=1的右支上一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和
(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选D.
题型二 双曲线几何性质的运用
【例2】双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P,使 =0,求此双曲线离心率的取值范围.
【解析】设P(x,y),则由 =0,得AP⊥PQ,则P在以AQ为直径的圆上,
即 (x-3a2)2+y2=(a2)2,①
又P在双曲线上,得x2a2-y2b2=1,②
由①②消去y,得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0,
即[(a2+b2)x-(2a3-ab2)](x-a)=0,
当x=a时,P与A重合,不符合题意,舍去;
当x=2a3-ab2a2+b2时,满足题意的点P存在,需x=2a3-ab2a2+b2>a,
化简得a2>2b2,即3a2>2c2,ca<62,
所以离心率的取值范围是(1,62).
【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式,是求离心率的取值范围的常用方法.
【变式训练2】设离心率为e的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )
A.k2-e2>1 B.k2-e2<1
C.e2-k2>1 D.e2-k2<1
【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义,可知直线的斜率k只需满足-ba
题型三 有关双曲线的综合问题
【例3】(2010广东)已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;
(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值.
【解析】(1)由题意知|x1|>2,A1(-2,0),A2(2,0),则有
直线A1P的方程为y=y1x1+2(x+2),①
直线A2Q的方程为y=-y1x1-2(x-2).②
方法一:联立①②解得交点坐标为x=2x1,y=2y1x1,即x1=2x,y1=2yx,③
则x≠0,|x|<2.
而点P(x1,y1)在双曲线x22-y2=1上,所以x212-y21=1.
将③代入上式,整理得所求轨迹E的方程为x22+y2=1,x≠0且x≠±2.
方法二:设点M(x,y)是A1P与A2Q的交点,①×②得y2=-y21x21-2(x2-2).③
又点P(x1,y1)在双曲线上,因此x212-y21=1,即y21=x212-1.
代入③式整理得x22+y2=1.
因为点P,Q是双曲线上的不同两点,所以它们与点A1,A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2,0)的直线l的方程为x+2y-2=0.
解方程组 得x=2,y=0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.
故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0,-1).
综上分析,轨迹E的方程为x22+y2=1,x≠0且x≠±2.
(2)设过点H(0,h)的直线为y=kx+h(h>1),
联立x22+y2=1得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.
令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得h2-1-2k2=0,
解得k1=h2-12,k2=-h2-12.
由于l1⊥l2,则k1k2=-h2-12=-1,故h=3.
过点A1,A2分别引直线l1,l2通过y轴上的点H(0,h),且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H,由h2×(-h2)=-1,得h=2.
此时,l1,l2的方程分别为y=x+2与y=-x+2,
它们与轨迹E分别仅有一个交点(-23,223)与(23,223).
所以,符合条件的h的值为3或2.
【变式训练3】双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2等于( )
A.1+22 B.3+22
C.4-22 D.5-22
【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.
据题意设|AF1|=x,则|AB|=x,|BF1|=2x.
由双曲线定义有|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a
⇒(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=(2+1)x-x=4a,即x=22a=|AF1|.
故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|=|F1F2|2-|AF1|2=4c2-8a2.
又由定义可得|AF2|=|AF1|-2a=22a-2a,即4c2-8a2=22-2a,
两边平方整理得c2=a2(5-22)⇒c2a2=e2=5-22,故选D.
总结提高
1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质,但应特别注意不同点,如a,b,c的关系、渐近线等.
2.要深刻理解双曲线的定义,注意其中的隐含条件.当||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|时,P的轨迹是双曲线;当||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|时,P的轨迹是以F1或F2为端点的射线;当
||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|时,P无轨迹.
3.双曲线是具有渐近线的曲线,画双曲线草图时,一般先画出渐近线,要掌握以下两个问题:
(1)已知双曲线方程,求它的渐近线;
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