由于 ，所以 ，从而有
于是关于 的方程
由 可知：
方程 的二根同正，故 恒成立，于是 等价于
.
由如上关于 的方程有唯一解，得其判别式 ，就可解得 .
点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
例4已知椭圆C: 和点P(4，1)，过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使 ，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点 的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率 作为参数，如何将 与 联系起来?一方面利用点Q在直线AB上;另一方面就是运用题目条件： 来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到 ，要建立 与 的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.
在得到 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于 的方程(不含k)，则可由 解得 ，直接代入 即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
简解：设 ，则由 可得： ，
解之得： (1)
设直线AB的方程为： ，代入椭圆C的方程，消去 得出关于 x的一元二次方程：
(2)
∴
代入(1)，化简得： (3)
与 联立，消去 得：
在(2)中，由 ，解得 ，结合(3)可求得
故知点Q的轨迹方程为： ( ).
点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
6、求根公式法
例5设直线 过点P(0，3)，和椭圆 顺次交于A、B两点，试求 的取值范围.
分析：本题中，绝大多数同学不难得到： = ，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程)，这只需利用对应的思想实施;其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
分析1: 从第一条想法入手， = 已经是一个关系式，但由于有两个变量 ，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将 转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
简解1：当直线 垂直于x轴时，可求得 ;
当 与x轴不垂直时，设 ，直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得
解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑 的情形.
当 时， ， ，
所以 = = = .
由 , 解得 ，
所以 ，
综上 .
分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于 不是关于 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于 的对称关系式.
简解2：设直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得
(*)
则
令 ，则，
在(*)中，由判别式 可得 ，
从而有 ，所以 ，解得 .
结合 得 .
综上， .
点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.
第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。
例6椭圆长轴端点为 ， 为椭圆中心， 为椭圆的右焦点，且 ， .
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)记椭圆的上顶点为 ，直线 交椭圆于 两点，问：是否存在直线 ，使点 恰为 的垂心?若存在，求出直线 的方程;若不存在，请说明理由。
思维流程：
解题过程：
(Ⅰ)如图建系，设椭圆方程为 ,则
又∵ 即 ，∴
故椭圆方程为
(Ⅱ)假设存在直线 交椭圆于 两点，且 恰为 的垂心，则
设 ，∵ ，故 ，
于是设直线 为 ，由 得，
∵ 又
得 即
由韦达定理得
解得 或 (舍) 经检验 符合条件.
点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零.
例7、已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 、 、 三点.
(Ⅰ)求椭圆 的方程：
(Ⅱ)若点D为椭圆 上不同于 、 的任意一点， ，当Δ 内切圆的面积最大时，求Δ 内心的坐标;
思维流程：
(Ⅰ)
解题过程： (Ⅰ)设椭圆方程为 ，将 、 、 代入椭圆E的方程，得
解得 .∴椭圆 的方程 .
(Ⅱ) ，设Δ 边上的高为
当点 在椭圆的上顶点时， 最大为 ，所以 的最大值为 .
设Δ 的内切圆的半径为 ，因为Δ 的周长为定值6.所以，
所以 的最大值为 .所以内切圆圆心的坐标为 .
点石成金：
例8、已知定点 及椭圆 ，过点 的动直线与椭圆相交于 两点.
(Ⅰ)若线段 中点的横坐标是 ，求直线 的方程;
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