(Ⅱ)在 轴上是否存在点 ，使 为常数?若存在，求出点 的坐标;若不存在，请说明理由.
思维流程：
(Ⅰ)解：依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
将 代入 ， 消去 整理得
设
则
由线段 中点的横坐标是 ， 得 ，解得 ，符合题意。
所以直线 的方程为 ，或 .
(Ⅱ)解：假设在 轴上存在点 ，使 为常数.
① 当直线 与 轴不垂直时，由(Ⅰ)知
所以
将 代入，整理得
注意到 是与 无关的常数， 从而有 ， 此时
② 当直线 与 轴垂直时，此时点 的坐标分别为 ，当 时， 亦有
综上，在 轴上存在定点 ，使 为常数.
点石成金：
例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2，1)，平行于OM的直线 在y轴上的截距为m(m≠0)， 交椭圆于A、B两个不同点。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
思维流程：
解：(1)设椭圆方程为
则 ∴椭圆方程为
(Ⅱ)∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又KOM=
由
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
(Ⅲ)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可
设
则
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形
例10、已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线 交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
思维流程：
解：∵(1) 原点到直线AB： 的距离 .
故所求双曲线方程为
(2)把 中消去y，整理得 .
设 的中点是 ，则
即
故所求k=± .
点石成金: C，D都在以B为圆心的圆上 BC=BD BE⊥CD;
例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(II)若直线 y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.
思维流程：
解：(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为 ，
由已知得： ，
椭圆的标准方程为 .
(II)设 .
联立
得 ，则
又 .
因为以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，
，即 . .
. .
解得： ，且均满足 .
当 时， 的方程 ，直线过点 ，与已知矛盾;
当 时， 的方程为 ，直线过定点 .
所以，直线 过定点，定点坐标为 .
点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CA⊥CB;
例12、已知双曲线 的左右两个焦点分别为 ,点P在双曲线右支上.
(Ⅰ)若当点P的坐标为 时, ,求双曲线的方程;
(Ⅱ)若 ,求双曲线离心率 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
思维流程：
解：(Ⅰ)(法一)由题意知, , ,
, (1分)
解得 . 由双曲线定义得:
,
所求双曲线的方程为:
(法二) 因 ,由斜率之积为 ,可得解.
(Ⅱ)设 ,
(法一)设P的坐标为 , 由焦半径公式得 , , ，
的最大值为2,无最小值. 此时 ,
此时双曲线的渐进线方程为
(法二)设 , .
(1)当 时, ,
此时 .
(2)当 ,由余弦定理得:
,
, ,综上, 的最大值为2,但 无最小值. (以下法一)
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