解析：(1) ，令 可得x=0或2(2舍去)，当-1x0时， 0，当0x1时， 0，所以当x=0时，f(x)取得最大值为2。选C;
(2)由已知得 ，令 ，解得 。
(Ⅰ)当 时， ， 在 上单调递增;
当 时， ， 随 的变化情况如下表：
极大值
极小值
从上表可知，函数 在 上单调递增;在 上单调递减;在 上单调递增。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当 时，函数 没有极值;当 时，函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值 。
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
题型5：导数综合题
例9.设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点.求
(I)求点 的坐标;
(II)求动点 的轨迹方程.
解析： (Ⅰ)令 解得 ;
当 时, ， 当 时, ，当 时， 。
所以,函数在 处取得极小值,在 取得极大值,故 , 。
所以, 点A、B的坐标为 。
(Ⅱ) 设 ， ，
，
，所以 。
又PQ的中点在 上，所以 ，消去 得 。
点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。
例10.(06湖南卷)已知函数 ,数列{ }满足: 证明:(ⅰ) ;(ⅱ) 。
证明: (I).先用数学归纳法证明 ，n=1,2,3,…
(i).当n=1时,由已知显然结论成立。
(ii).假设当n=k时结论成立,即 。
因为0
又f(x)在[0,1]上连续，从而 .故n=k+1时,结论成立。
由(i)、(ii)可知， 对一切正整数都成立。
又因为 时， ，所以 ，综上所述 。
(II).设函数 ， ，
由(I)知，当 时， ，
从而 所以g (x)在(0,1)上是增函数。
又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0，所以当 时，g (x)>0成立。
于是 .故 。
点评：该题是数列知识和导数结合到一块。
题型6：导数实际应用题
例11.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体积最大?
本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
解析：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为 (单位：m)。
于是底面正六边形的面积为(单位：m2)：
。
帐篷的体积为(单位：m3)：
求导数，得 ;
令 解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。
当1
所以当x=2时,V(x)最大。
答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。
点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。
例12.已知函数f(x)=x + x ，数列|x |(x >0)的第一项x =1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在 处的切线与经过(0，0)和(x ,f (x ))两点的直线平行(如图)求证：当n 时，
(Ⅰ)x
(Ⅱ) 。
证明：(I)因为 所以曲线 在 处的切线斜率
因为过 和 两点的直线斜率是 所以 .
(II)因为函数 当 时单调递增，而
，
所以 ，即 因此
又因为 令 则
因为 所以
因此 故
点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。
题型7：定积分
例13.计算下列定积分的值
(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;
解析：(1)
(2)因为 ，所以 ;
(3)
(4)
例14.(1)一物体按规律x=bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方.试求物体由x=0运动到x=a时，阻力所作的功。
(2)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值，并求Smax.
解析：(1)物体的速度 。
媒质阻力 ，其中k为比例常数，k>0。
当x=0时，t=0;当x=a时， ，
又ds=vdt，故阻力所作的功为：
(2)依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=-b/a，所以 (1)
又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组
得ax2+(b+1)x-4=0，其判别式必须为0，即(b+1)2+16a=0.
于是 代入(1)式得：
， ;
令S'(b)=0;在b>0时得唯一驻点b=3，且当00;当b>3时，S'(b)<0.故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=-1，b=3时，S取得最大值，且 。
点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。
五.思维总结
1.本讲内容在高考中以填空题和解答题为主
主要考查：
(1)函数的极限;
(2)导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用;
(3)计算曲边图形的面积和旋转体的体积。
2.考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。
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