(1)求证：AF=DE;
(2)若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长.
【答案】(1)证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA。
∵在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，
∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA。
∴△AED≌△DFA(SAS)。∴AF=DE。
(2)解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK。
∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°。
∴AB= BH= AH。
同理：CD= CK= KD。
∵S梯形ABCD= ，AB=a，
∴S梯形ABCD= 。
又∵S△ABE=S△DCF= ，
∴ ，解得： 。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。
【分析】(1)根据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS的判定证明△AED≌△DFA即可。
(2)如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长。
2. (2012浙江湖州8分)已知：如图，在 ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB，连接FD，交BC于点E.
(1)说明△DCE≌△FBE的理由;
(2)若EC=3，求AD的长.
3. (2012浙江嘉兴、舟山8分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE.
(1)求证：BD=EC;
(2)若∠E=50°，求∠BAO的大小.
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD。
又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD。∴四边形BECD是平行四边形。
∴BD=EC。
(2)解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°。
又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD。∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°。
【考点】菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，直角三角形两锐角的关系。
【分析】(1)根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证。
(2)根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解。
4. (2012浙江宁波10分)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作;…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形.如图1， ABCD中，若AB=1，BC=2，则 ABCD为1阶准菱形.
(1)判断与推理：
①邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形;
②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把 ABCD沿BE折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.
(2)操作、探究与计算：
①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a(a>1)，且是3阶准菱形，请画出 ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值;
②已知 ABCD的邻边长分别为a，b(a>b)，满足a=6b+r，b=5r，请写出 ABCD是几阶准菱形.
【答案】解：(1)①2。
②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF。∴∠AEB=∠FBE。
∴∠AEB=∠ABE。∴AE=AB。∴AE=BF。
∴四边形ABFE是平行四边形。∴四边形ABFE是菱形。
(2)①如图所示：
②∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r。
如图所示，
故 ABCD是10阶准菱形。
【考点】图形的剪拼，平行四边形的性质，平行的性质，菱形的性质，作图(应用与设计作图)。
【分析】(1)①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是边长为1菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形。
②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，从而得出AE=BF，即可得出答案。
(2)①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案。
②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，从而利用图形得出 ABCD是几阶准菱形。
5. (2012浙江衢州6分)如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF.请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系?并对你的猜想加以证明.
【答案】解：猜想：AE=CF。证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD。∴∠ABE=∠CDF。
在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠ABE=∠CDF，BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF。
【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB∥CD，AB=CD，然后利用平行线的性质，求得∠ABE=∠CDF，又由BE=DF，即可由SAS证得△ABE≌△CDF，从而可得AE=CF。
6. (2012浙江温州8分)如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D,E,F，连结AD，求证：四边形ACFD是菱形。
【答案】证明：由平移变换的性质得，CF=AD=10，DF=AC。
∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴ 。
∴AC=DF=AD=CF=10。∴四边形ACFD是菱形。
【考点】平移的性质，勾股定理，菱形的判定。
【分析】根据平移的性质可得CF=AD=10，DF=AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10，就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论。
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