【答案】 。
【考点】分类归纳(图形变化类)。
【分析】寻找规律：第1个图形中间有2=1×2个小圆，第2个图形中间有6=2×3个小圆，第3个图形中间有12=3×4个小圆，第4个图形中间有20=4×5个小圆，••••••第n个图形中间有n(n+1)个小圆。共有4+n(n+1)= 个小圆。
三、解答题
1.(河北省8分)如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点0和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
(1)以O为位似中心，在网络图中作△A′B′C′，使△AA′B′C′和△ABC位似，且位似比为 1：2;
(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.(结果保留根号)
【答案】解：(1)如图所示：
(2)在Rt△OA′C′中，OA′=OC′=2，
根据勾股定理，得A′C′=2 。
同理可得AC=4 。
又AA′=CC′=2.
∴四边形AA′C′C的周长=4+6 。
【考点】作图(位似变换)，勾股定理。
【分析】(1)根据位似比是1：2，画出以O为位似中心的△A′B′C′。
(2)根据勾股定理求出AC，A′C′的长，由于AA′，CC′的长易得，相加即可求得四边形AA′C′C的周长。
2.(内蒙古包头10分)在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于E，F两点，如图(1)与(2)是旋转三角板所得图形的两种情况.
(1)三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形?若能，指出所有情况(即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长)，若不能，请说明理由;
(2)三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系?用图(1)或(2)加以证明;
(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图(3))，当AP：AC=1：4时，PE和PF有怎样的数量关系?证明你发现的结论.
【答案】解：(1)△OFC能成为等腰直角三角形。
①当F为BC的中点时，∵O点为AC的中点，∴OF∥AB。∴CF=OF= 。
∵AB=BC=5，∴BF= 。
②当B与F重合时，∵OF=OC= ，∴BF=0。
(2)OE=OF。以图(1)证明如下：
如图，连接OB，
∵由(1)的结论可知，BO=OC= ，
∵∠EOB=900-∠BOF =∠FOC，∠EBO=450=∠C，
∴△OEB≌△OFC(ASA)。∴OE=OF。
(3)PE：PF=1：4。证明如下：
如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，
∴∠EPM=∠FPN。
∵∠FMP=∠FNP=90°，∴△PNF∽△PME。
∴PM：PN=PE：PF。
∵△APM和△PNC为等腰三角形，∴△APM∽△PNC，
∴PM：PN=AP：PC。
∵PA：AC=1：4，∴PE：PF=1：4。
【考点】等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)由题意可知，①当F为BC的中点时，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的长度，即可推出BF的长度，②当B与F重合时，根据直角三角形的相关性质，即可推出OF的长度，即可推出BF的长度。
(2)连接OB，由已知条件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF。
(3)过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，结合图形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，继而推出PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根据已知条件即可推出PA：AC=PE：PF=1：4。
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