19.(10分)如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D地边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上。
(1)求证：△ADE≌△BGF;
(2)若正方形DEFG的面积为16cm ，求AC的长。
20.(10分))如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线 (k>0)与矩形两边AB、BC分别交于E、F.
(1)若E是AB的中点，求F点的坐标;
(2)若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值.
21.(12分)将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.
(1)当m=3时，点B的坐标为 ，点E的坐标为 ;
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上?若能，请求出m的值;若不能，请说明理由.
(3)如图，若点E的纵坐标为-1，抛物线 (a≠0且a为常数)的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围.
22.(12分)如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F。
(1)求证：△ABF∽△ECF
(2)如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长。
23.(14分)如图,已知二次函数 的图象与 轴交于A、B两点，与 轴交于点P，顶点为C(1，-2).
(1)求此函数的关系式;
(2)作点C关于 轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形?若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积;若不存在，请说明理由.
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