A.f′(x)>0，g′(x)>0 B.f′(x)>0，g′(x)<0
C.f′(x)<0，g′(x)>0 D.f′(x)<0，g′(x)<0
【解析】选B.
题型二 优化问题
【例2】 (2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式;
(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?
【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m，
即n=mx-1.
所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x
=256(mx-1)+mx(2+x)x
=256mx+mx+2m-256.
(2)由(1)知f′(x)=-256mx2+12mx =m2x2(x -512).
令f′(x)=0，得x =512.所以x=64.
当00，f(x)在区间(64,640)内为增函数.
所以f(x)在x=64处取得最小值.
此时n=mx-1=64064-1=9.
故需新建9个桥墩才能使y最小.
【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).
【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，
则由已知可得4(4r+2h)=9.6，所以2r+h=1.2.
S=2.4πr-3πr2，h=1.2-2r>0，所以r<0.6.
所以S=2.4πr-3πr2(0
令f(r)=2.4πr-3πr2，则f′(r)=2 .4π-6πr.
令f′(r)=0得r=0.4.所以当00;
当0.4
所以r=0.4时S最大，Smax=1.51.
题型三 导数与函数零点问题
【例3】 设函数f(x)=13x3-mx2+(m2-4)x，x∈R.
(1)当m=3时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程;
(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α<β.若对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)当m=3时，f(x)=13x3-3x2+5x，f′(x)=x2-6x+5.
因为f(2)=23，f′(2)=-3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为-3，
则所求的切线方程为y-23=-3(x-2)，即9x+3y-20=0.
(2)f′(x)=x2-2mx+(m2-4).
令f′(x)=0，得x=m-2或x=m+2.
当x∈(-∞，m-2)时，f′(x)>0，f(x)在(-∞，m-2)上是增函数;
当x∈(m-2，m+2)时，f′(x)<0，f(x)在(m-2，m+2)上是减函数;
当x∈(m+2，+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(m+2，+∞)上是增函数.
因为函数f(x)有三个互不 相同的零点0，α，β，且f(x)=13x[x2-3mx+3(m2-4)]，
所以
解得m∈(-4，-2)∪(-2,2)∪(2,4).
当m∈(-4，-2)时，m-2
所以α
此时f(α)=0，f(1)>f(0)=0，与题意不合，故舍去.
当m∈(-2,2)时，m-2<0
所以α
因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α<1<β.
所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值.
因为当x=m+2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m+2=1，即m=-1.
当m∈(2,4)时，0
所以0
因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α<1<β.
所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值.
因为当x=m+2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m+2=1，即m=-1(舍去).
综上可知，m的取值范围是{-1}.
【变式训练3】已知f(x)=ax2(a∈R)，g(x)=2ln x.
(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;
(2)若方程f(x)=g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围.
【解析】(1)当a>0时，F(x)的递增区间为(1a，+∞)，递 减区间为(0，1a);
当a≤0时，F(x)的递减区间为(0，+∞).
(2)[12ln 2，1e).
总结提高
在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.
3.4 定积分与微积分基本定理
典例精析
题型一 求常见函数的定积分
【例1】 计算下列定积分的值.
(1) (x-1)5dx;
(2) (x+sin x)dx.
【解析】(1)因为[16(x-1)6]′=(x-1)5，
所以 (x-1)5dx= =16.
(2)因为(x22-cos x)′=x+sin x，
所以 (x+sin x)dx= =π28+1.
【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值;
(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和;
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分;
(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：
①若f(x)是偶函数 时，则 f(x)dx=2 f(x)dx;
②若f(x)是奇函数时，则 f(x)dx=0.
【变式训练1】求 (3x3+4sin x)dx.
【解析】 (3x3+4sin x)dx表示直线x=-5，x=5，y=0和曲线 y=3x3+4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方 的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.
又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)
=-(3x3+4sin x)=-f(x).
所以f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函数，
所以 (3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx，
所以 (3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.
题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积
【例2】求抛物线y2=2x与直线y=4-x所围成的平面图形的面积.
【解析】方法一：如图，
由
得交点A(2,2)，B(8，-4)，
则S= [2x-(-2x)]dx+ [4-x-(-2x)]dx
= +
=163+383=18.
方法二：S= [(4-y)-y22]dy
= =18.
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