【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x=φ(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.
【变式训练2】设k 是一个正整数，(1+xk)k的展开式中x3的系数为116，则函数y=x2与y=kx-3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为 .
【解析】Tr+1=Crk(xk)r，令r=3，得x3的系数为C3k1k3=116，解得k=4.由 得函数y=x2与y=4x-3的图象的交点的横坐标分别为1,3.
所以阴影部分的面积为S= (4x-3-x2)dx=(2x2-3x- =43.
题型三 定积分在物理中的应用
【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)=1-t2，初始位置为x0=1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置;
(2)一物体按规律x=bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x=0运动到x=a时阻力所做的功.
【解析】(1)当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)≤0，所以前2秒内所走过的路程为
s= v(t)dt+ (-v(t))dt
= (1-t2)dt+ (t2-1)dt
= + =2.
2秒末所在的位置为
x1=x0+ v(t)dt=1+ (1-t2)dt=13.
所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1=13.
(2) 物体的速度为v=(bt3)′=3bt2.
媒质阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4，其中k为比例常数，且k>0.
当x=0时，t=0;
当x=a时，t=t1=(ab) ，
又ds=vdt，故阻力所做的功为
W阻= ds = kv2•vdt=k v3dt
= k (3bt 2)3dt=277kb3t71 = 277k3a7b2.
【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)= a(t)dt，s(t)= v(t)dt和W= F(x)dx这三个公式.
【变式训练3】定义F(x，y)=(1+x)y，x，y∈(0，+∞).令函数f(x)=F[1，log2(x2-4x+9)]的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n>0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.
【解析】因为F(x，y)=(1+x)y，所以f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))= =x2-4x+9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n>0)，f′(x)=2x-4.
所以 解得B(3,6)，
所以S= (x2-4x+9-2x)dx=(x33-3x2+9x) =9.
总结提高
1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.
2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.
3.利用定积分求平面图形面积的步骤：
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;
(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限;
(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;
(4)计算定积分，写出答案.
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