(1)已知双曲线方程，求它的渐近线;
(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y=±bax，可将双曲线方程设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.
9.3 抛物线
典例精析
题型一 抛物线定义的运用
【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.
(1)抛物线过点P(2，-4);
(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.
【解析】(1)设方程为y2=mx或x2=ny.
将点P坐标代入得y2=8x或x2=-y.
(2)设A(m，-3)，所求焦点在x轴上的抛物线为y2=2px(p≠0)，
由定义得5=|AF|=|m+p2|，又(-3)2=2pm，所以p=±1或±9，
所求方程为y2=±2x或y2=±18x.
【变式训练1】已知P是抛物线y2=2x上的一点，另一点A(a,0) (a>0)满足|P A|=d，试求d的最小值.
【解析】设P(x0，y0) (x0≥0)，则y20=2x0，
所以d=|PA|=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=[x0+(1-a)]2+2a-1.
因为a>0，x0≥0，
所以当0
当a≥1时，此时有x0=a-1，dmin=2a-1.
题型二 直线与抛物线位置讨论
【例2】(2010湖北)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程;
(2)是否存在正数m，对 于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 <0?若存在，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由.
【解析】(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：
(x-1)2+y2-x=1(x>0).
化简得y2=4x(x>0).
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
设l的方程为x=ty+m，由 得y2-4ty-4m=0，
Δ=16(t2+m)>0，于是 ①
又 =(x1-1，y1)， =(x2-1，y2).
<0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②
又x=y24，于是不等式②等价于 y214•y224+y1y2-(y214+y224)+1<0
⇔(y1y2)216+y1y2-14[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.③
由①式，不等式③等价于m2-6m+1<4t2.④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0，即3-22
由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 • <0，且m的取值范围是(3-22，3+22).
【变式训练2】已知抛物线y2=4x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则1y1+1y2= .
【解析】 ⇒y2-4my+8m=0，
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所以1y1+1y2=y1+y2y1y2=12.
题型三 有关抛物线的综合问题
【例3】已知抛物线C：y =2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交 C于点N.
(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行;
(2)是否存在实数k使 • =0?若存在，求k的值;若不存在，说明理由.
【解析】(1)证明：如图，设A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，
把y=kx+2代入y=2x2，得2x2-kx-2=0，
由韦达定理得x1+x2=k2，x1x2=-1，
所以xN=xM=x1+x22=k4，所以点N的坐标为(k4，k28).
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-k28=m(x-k4)，
将y=2x2代入上式，得2x2-mx+mk4 -k28=0，
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ=m2-8(mk4-k28)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0，
所以m=k，即l∥AB.
(2)假设存在实数k，使 • =0，则NA⊥NB，
又因为M是AB的中点，所以|MN|= |AB|.
由(1)知yM=12(y1+y2)=12(kx1+2+kx2+2)=12[k(x1+x2)+4]=12(k22+4)=k24+2.
因为MN⊥x轴，所以|MN|=|yM-yN|=k24+2-k28=k2+168.
又|AB|=1+k2•|x1-x2|=1+k2•(x1+x2)2-4x1x2
=1+k2•(k2)2-4×(-1)=12k2+1•k2+16.
所以k2+168=14k2+1•k2+16，解得k=±2.
即存在k=±2，使 • =0.
【点拨】直线与抛 物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系;有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|=x1+x2+p，若不过焦点，则必须使用一般弦长公式.
【变式训练3】已知P是抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作圆(x-3)2+y2=1的切线，切点分别为M、N，则|MN|的最小值是 .
【解析】455.
总结提高
1.在抛物线定义中，焦点F不在准线l上，这是一个重要的隐含条件，若F在l上，则抛物线退化为一条直线.
2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上;(2)准线垂直于对称轴;(3)焦点到准线的距离为p;(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p.
3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.
4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|=x1+x2+p或|AB|=2psin2α(α为AB的倾斜角)，y1y2=-p2，x1x2=p24等.
9.4 直线与圆锥曲线的位置关系
典例精析
题型一 直线与圆锥曲线交点问题
【例1】若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a的值.
【解析】联立方程组
(1)当a=0时，方程组恰有一组解为
(2)当a≠0时，消去x得a+1ay2-y-1=0，
①若a+1a=0，即a=-1，方程变为一元一次方程-y-1=0，
方程组恰有一组解
②若a+1a≠0，即a≠-1，令Δ=0，即1+4(a+1)a=0，解得a= -45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.
综上所述，a=0或a=-1或a=-45.
【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数 =0，即a=-1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a=0时，曲线y2=ax，即直线y=0，此时与已知直线y=x-1 恰有交点(1,0);②当a=-1时，直线y=-1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零);③当a=-45时直线与抛物线相切.
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