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高三理科数学复习教案：圆锥曲线与方程总复习教案

[10-20 00:47:15]   来源：http://www.kmf8.com  高三数学教案   阅读：8738次
概要： 【变式训练1】若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为()A.{1，-1，52，-52} B.(-∞，-52]∪[52，+∞)C.(-∞，-1]∪[1，+∞) D.(-∞，-1)∪[52，+∞)【解析】由 ⇒(1-k2)x2-2kx-5=0，⇒k=±52，结合直线过定点(0，-1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为A.题型二直线与圆锥曲线的相交弦问题【例2】(2010辽宁)设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°， =2 .(1)求椭圆C的离心率;(2)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0.(1)直线l的方程为y=3(x-c)，其中c=a2-b2.联立得(3a2+b2)y2+23b2cy-3b4=0.解得
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【变式训练1】若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为(　　)

A.{1，-1，52，-52} B.(-∞，-52]∪[52，+∞)

C.(-∞，-1]∪[1，+∞) D.(-∞，-1)∪[52，+∞)

【解析】由 ⇒(1-k2)x2-2kx-5=0，

⇒k=±52，结合直线过定点(0，-1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为A.

题型二　直线与圆锥曲线的相交弦问题

【例2】(2010辽宁)设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°， =2 .

(1)求椭圆C的离心率;

(2)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0.

(1)直线l的方程为y=3(x-c)，其中c=a2-b2.

联立

得(3a2+b2)y2+23b2cy-3b4=0.

解得y1=-3b2(c+2a)3a2+b2，y2=-3b2(c-2a)3a2+b2.

因为 =2 ，所以-y1=2y2，即3b2(c+2a)3a2+b2=2•-3b2(c-2a)3a2+b2.

解得离心率e=ca=23.

(2)因为|AB|=1+13|y2-y1|，所以23•43ab23a2+b2=154.

由ca=23得b=53a，所以54a=154，即a=3，b=5.

所以椭圆的方程为x29+y25=1.

【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.

【变式训练2】椭圆ax2+ by2=1与直线y=1-x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为　　　.

【解析】设直线与椭圆交于A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点坐标为(x0，y0)，代入椭圆方程两式相减得a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0⇒

2ax0+2by0y1-y2x1-x2=0⇒ax0-by0=0.

故ab=y0x0=32.

题型三　对称问题

【例3】在抛物线y2=4x上存在两个不同的点关于直线l：y=kx+3对称，求k的取值范围.

【解析】设A(x1，y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，由题意知k≠0.

设直线AB的方程为y=-1kx+b，

联立 消去x，得14ky2+y-b=0，

由题意有Δ=12+4•14k•b>0，即bk+1>0.(*)

且y1+y2=-4k.又y1+y22=-1k•x1+x22+b.所以x1+x22=k(2k+b).

故AB的中点为E(k(2k+b)，-2k).

因为l过E，所以-2k=k2(2k+b)+3，即b=-2k-3k2-2k.

代入(*)式，得-2k-3k3-2+1>0⇔k3+2k+3k3<0

⇔k(k+1)(k2-k+3)<0⇔-1

【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l对称，则满足直线l与AB垂 直，且线段AB的中点坐标满足l的方程;

(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解;或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.

【变式训练3】已知抛物线y=-x2+3上存在关于x+y=0对称的两点A，B，则|AB|等于(　　)

A.3 B.4 C.32 D.42

【解析】设AB方程：y=x+b，代入y=-x2+3，得x2+x+b-3=0，

所以xA+xB=-1，故AB中点为(-12，-12+b).

它又在x+y=0上，所以b=1，所以|AB|=32，故选C.

总结提高

1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.

2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组

通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2+bx+c=0进行讨论.这时要注意考虑a=0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a≠0，Δ=0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.

3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法;使用点差法时，要特别注意验证“相交”的情形.

9.5　圆锥曲线综合问题

典例精析

题型一　求轨迹方程

【例1】已知抛物线的方程为x2=2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M.

(1)求证：l1⊥l2;

(2)求点M的轨迹方程.

【解析】(1)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+12.

联立 消去y整理得x2-2kx-1=0.设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x2，y2)，则有x1x2=-1，将抛物线方程改写为y=12x2，求导得y′=x.

所以过点A的切线l1的斜率是k1=x1，过点B的切线l2的斜率是k2=x2.

因为k1k2 =x1x2=-1，所以l1⊥l2.

(2)直线l1的方程为y-y1=k1(x-x1)，即y-x212=x1(x-x1).

同理直线l2的方程为y-x222=x2(x-x2).

联立这两个方程消去y得x212-x222=x2(x-x2)-x1(x-x1)，

整理得(x1-x2)(x-x1+x22)=0，

注意到x1≠x2，所以x=x1+x22.

此时y=x212+x1(x-x1)=x212+x1(x1+x22-x1)=x1x22=-12.

由(1)知x1+x2=2k，所以x=x1+x22=k∈R.

所以点M的轨迹方程是y=-12.

【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.

【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(-5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)

A.x29-y216=1 B.x216-y29=1

C.x29-y216=1(x>3) D.x216-y29=1(x>4)

【解析】如图，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，

所以|CA|-|CB|=8-2=6，

根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29-y216=1(x>3)，故选C.

题型二　圆锥曲线的有关最值

【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1.当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值.

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