解析:(1)设 =( , , ), =(1,1,1),
则| |=4,| |= .
∵ • ≤| |•| |,
∴ • = + + ≤| |•| |=4 .
当 = = 时,即a=b=c= 时,取“=”号。
(2)解:W=F•s=(F1+F2+F3)• =14。
点评:若 =(x,y,z), =(a,b,c),则由 • ≤| |•| |,得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查| |•| |≥ • 的应用,解题时要先根据题设条件构造向量 , ,然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。
例10.如图,直三棱柱 中, 求证:
证明:
同理
又
设 为 中点,则
又
点评:从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题,要用到空间多边形法则,向量的运算,数量积以及平行,相等和垂直的条件。
五.思维总结
本讲内容主要有空间直角坐标系,空间向量的坐标表示,空间向量的坐标运算,平行向量,垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底{i,j,k}建立坐标系,对于O点的选取要既有作图的直观性,而且使各点的坐标,直线的坐标表示简化,要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质;空间向量的坐标运算同平面向量类似,具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样,实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a•b=|a|•|b|cos在二维、三维都是这样定义的,不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样,但实质是一致的,即对应坐标成比例,且比值为 ,对于中点公式要熟记。
对本讲内容的考查主要分以下三类:
1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质
此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
2.向量在空间中的应用
在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。
在复习过程中,抓住源于课本,高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题,即源于课本。因此,掌握双基、精通课本是本章关键。
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