D.sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=34
[答案] A
[解析] 观察已知等式不难发现，60°-30°=50°-20°=45°-15°=30°，推广后的命题应具备此关系，但A中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.选A.
9.(2011•山东潍坊一中期末)一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)=x1+|x|(x∈R)，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f(x)的值域为(-1,1);
乙：若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2);
丙：若规定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，则fn(x)=x1+n|x|对任意n∈N*恒成立
你认为上述三个命题中正确的个数有( )
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
[答案] A
[解析] 当x>0时，f(x)=x1+x∈(0,1)，当x=0时，f(0)=0，当x<0时，f(x)=x1-x∈(-1,0)，∴f(x)的值域为(-1,1)，且f(x)在(-∞，+∞)上为增函数，因此，x1≠x2时，一定有f(x1)≠f(x2).
∵f(x)=x1+|x|，f1(x)=f(x)，∴f1(x)=x1+|x|，又fn(x)=f(fn-1(x))，
∴f2(x)=f(f1(x))=fx1+|x|=x1+|x|1+|x|1+|x|=x1+2|x|，
f3(x)=f(f2(x))=fx1+2|x|=x1+2|x|1+|x|1+2|x|=x1+3|x|……
可知对任意n∈N*，fn(x)=x1+n|x|恒成立，故选A.
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10.(2011•陕西宝鸡质检)如果函数f(x)对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|≤M(x)恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛函数，下面四个函数：
①f(x)=1; ②f(x)=x2;
③f(x)=(sinx+cosx)x; ④f(x)=xx2+x+1.
其中属于有界泛函数的是( )
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
[答案] D
[解析] 对任意实数x.∵sinx+cosx=2sinx+π4≤2，∴存在常数M≥2，有|sinx+cosx|≤M成立，
∴|x(sinx+cosx)|≤M|x|，即|f(x)|≤M|x|成立，∴③是有界泛函数;
又∵x2+x+1=x+122+34≥34，
∴1x2+x+1≤43，∴存在常数M≥43，使|x||x2+x+1|≤M(x)，即|f(x)|≤M|x|成立，
故④是有界泛函数，因此选D.
11.(2011•北京学普教育中心联考版)观察下列算式：
21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256，…
用你所发现的规律得出22011的末位数字是( )
A.2 B.4
C.6 D.8
[答案] D
[解析] 观察发现，2n的末位数字以4为周期出现，依次为2,4,8,6,2011被4除的余数为3，故22011的末位数字与23的末位数字相同，故选D.
12.(2011•河北冀州中学期末)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1n(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11=12+12，12=13+16，13=14+112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( )
11
12 12
13 16 13
14 112 112 14
15 120 130 120 15
A.11260 B.1840
C.1504 D.1360
[答案] B
[解析] 第10行第1个数为110，第2个数为19-110=190，第9行第1个数为19，第2个数为18-19=172，∴第10行第3个数为172-190=1360，第8行第1个数为18，第2个数为17-18=156，故第9行第3个数为156-172=1252，∴第10行第4个数为1252-1360=1840.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13.(文)(2011•江西吉安期末)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21+a22=1，那么a1+a2≤2.证明：构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1.因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1+a2)2-8≤0，所以a1+a2≤2.类比上述结论，若n个正实数满足a21+a22+…+a2n=1，你能得到的结论为________.
[答案] a1+a2+…+an≤n(n∈N*)
[解析] 构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1，
∵f(x)≥0对任意实数x都成立，
∴Δ=4(a1+a2+…+an)2-4n≤0，
∵a1，a2，…，an都是正数，∴a1+a2+…+an≤n.
(理)(2011•北京学普教育中心)我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值3a2，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________.
[答案] 6a3
[解析] 在正三角形内到三边的距离之和等于正三角形的高;正三角形的边类比空间正四面体的面，正四面体内任一点到其四个面的距离之和等于正四面体的高6a3.
14.(2011•湖北荆门市调研)如果一个复数的实部、虚部对应一个向量的横坐标、纵坐标，已知z1=(1-2i)i对应向量为a，z2=1-3i1-i对应向量为b，那么a与b的数量积等于________.
[答案] 3
[解析] z1=2+i对应向量a=(2,1)，z2=1-3i1-i=1-3i1+i2=2-i对应向量b=(2，-1)，
∴a•b=3.
15.(2011•辽宁沈阳二中检测)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数，下列函数：①f(x)=sinx;②f(x)=3π(x-1)2+2;③f(x)=14x;④f(x)=log0.5x，其中是一阶格点函数的有________.
[答案] ①②
[解析] f(x)=sinx通过的格点只有(0,0);f(x)=3π(x-1)2+2经过的格点只有(1,2);f(x)=log0.5x经过的格点有(2n，-n)，n=0,1,2…;f(x)=14x经过的格点至少有(0,1)，(-1,4)，故填①②.
16.(2011•杭州市质检)设n为正整数，f(n)=1+12+13+…+1n，计算得f(2)=32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________.
[答案] f(2n)≥n2+1
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