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初一下册数学开放探索型问题

[10-20 00:29:14]   来源：http://www.kmf8.com  初一数学试卷   阅读：8475次
概要： ∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形.点评：该题考查了二次函数的性质及解析式的确定、矩形的性质、特殊三角形的判定等知识，综合性较强.在答案题目时，要注意数形结合，并灵活应用前面小题中证得的结论27. (2012贵州省毕节市，27，16分)如图，直线 1经过点A(-1，0)，直线 2经过点B(3,0), 1、 2均为与 轴交于点C(0, ),抛物线 经过A、B、C三点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)抛物线的对称轴依次与 轴交于点D、与 2交于点E、与抛物线交于点F、与 1交于点G。求证：DE=EF=F G;(3)若 1⊥ 2于 轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。解析：(1)已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)D、E、F、G四点均在对称轴x=1上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段DE、EF、FG的长度.D是对称轴与x轴交点，F是抛物线顶点，其坐标易求;E是对称轴与直线l2交点，需
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∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形.

点评：该题考查了二次函数的性质及解析式的确定、矩形的性质、特殊三角形的判定等知识，综合性较强.在答案题目时，要注意数形结合，并灵活应用前面小题中证得的结论

27. (2012贵州省毕节市，27，16分)如图，直线 1经过点A(-1，0)，直线 2经过点B(3,0), 1、 2均为与 轴交于点C(0, ),抛物线 经过A、B、C三点.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)抛物线的对称轴依次与 轴交于点D、与 2交于点E、与抛物线交于点F、与 1交于点G。求证：DE=EF=F G;

(3)若 1⊥ 2于 轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。

解析：(1)已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出

抛物线的解析式;

(2)D、E、F、G四点均在对称轴x=1上，只要分别求出

其坐标，就可以得到线段DE、EF、FG的长度.D是对称

轴与x轴交点，F是抛物线顶点，其坐标易求;E是对称轴

与直线l2交点，需要求出l2的解析式，G是对称轴与l1的交

点，需要求出l1的解析式，而A、B、C三点坐标已知，所

以l1、l2的解析式可以用待定系数法求出.至此本问解决;

(3)△PCG为等腰三角形，需要分三种情况讨论.如解答图所示，在解答过程中，充分注意到△ECG为含30度角的直角三角形，△P1CG为等边三角形，分别利用其几何性质，则本问不难解决.

解答：解(1)依题意，得.

， 解得

∴抛物线的函数表达式是y= x2- x- ;

(2)∵直线l1经过点A(-1，0)，C(0，- )，∴直线l1的函数表达式为y1=- x- .

∵直线l2经过点B(3，0)，C(0- )，∴直线l2的函数表达式为y2= x- .

又∵抛物线的对称轴是x=1，∴点D的坐标为(1，0)，点E的坐标为(1，- )，

点F的坐标为(1，- )，点G的坐标为(1，-2 ).∴DE=EF=FG= ;

(3)P点的坐标为：P1(2，- )，P2(1， ).

理由：分三种情况：

①以G点为圆心，GC长为半径作弧，交抛物线于点C和点P1，连结CP1、GP1，所以GC=GP1.由等腰三角形的三线合一性质(或抛物线的对称性)可知点P1与点C关于直线x=1对称，所以点P1的坐标为(2，- );

②以点C为圆心，CG长为半径作弧，因为∠CGF=30°，所以∠CGP1=60°，即△CGP1是等边三角形，又因为AC=CG=2，所以作出的弧与抛物线交于点A和点P1，但A、C、G在同一条直线上，不能组成三角形.

③作线段CG的垂直平分线，因为△CGP1是等边三角形，所以P1点在线段CG的垂直平分线上;连接CF，由于l1⊥l2于点C，F是EG的中点，所以FC=FG，即F点也在线段CG的垂直平分线上，所以P2点与F点重合，即P2点的坐标是(1，- ).综上所述，点P的坐标是P1(2，- )，P2(1，- ).

点评：作为中考压轴题，本题考查的知识点比较多，包括二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数、一次函数)解析式、等腰三角形、等边三角形以及勾股定理等.难点在于第(3)问，需要针对等腰三角形△PCG的三种可能情况分别进行讨论，在解题过程中，需要充分挖掘并利用题意隐含的条件(例如直角三角形、等边三角形)，这样可以简化解答过程.

29.(2012江苏苏州，29，12分)如图，已知抛物线y= x2﹣ (b+1)x+ (b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C.

(1)点B的坐标为　(b，0)　，点C的坐标为　(0， )　(用含b的代数式表示);

(2)请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在，求出点P的坐标;如果不存在，请说明理由;

(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在，求出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由.

分析： (1)令y=0，即y= x2﹣ (b+1)x+ =0，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标;

(2)存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.设点P的坐标为(x，y)，连接OP，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明△PEC≌△PDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标;

(3)存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴;

要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°;再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可.

解答： 解：(1)令y=0，即y= x2﹣ (b+1)x+ =0，

解得：x=1或b，

∵b是实数且b>2，点A位于点B的左侧，

∴点B的坐标为(b，0)，

令x=0，

解得：y= ，

∴点C的坐标为(0， )，

故答案为：(b，0)，(0， );

(2)存在，

假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.

设点P的坐标为(x，y)，连接OP.

则S四边形POCB=S△PCO+S△POB= • •x+ •b•y=2b，

∴x+4y=16.

过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，

∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°.

∴四边形PEOD是矩形.

∴∠EPO=90°.

∴∠EPC=∠DPB.

∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y.

由 解得

由△PEC≌△PDB得EC=DB，即 ﹣ =b﹣ ，

解得b= >2符合题意.

∴P的坐标为( ， );

(3)假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，

∴∠QAB>∠AOQ，∠QAB>∠AQO.

∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴.

∵b>2，

∴AB>OA，

∴∠Q0A>∠ABQ.

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