∴只能∠AOQ=∠AQB.此时∠OQB=90°，
由QA⊥x轴知QA∥y轴.
∴∠COQ=∠OQA.
∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°.
(I)当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA.
∴AQ=CO= .
由AQ=AQ2=OA•AB得：( )2=b﹣1.
解得：b=8±4 .
∵b>2，
∴b=8+4 .
∴点Q的坐标是(1，2+ ).
(II)当∠OQC=90°时，△QCO∽△QOA，
∴ = ，即OQ2=OC•AQ.
又OQ2=OA•OB，
∴OC•AQ=OA•OB.即 •AQ=1×b.
解得：AQ=4，此时b=17>2符合题意，
∴点Q的坐标是(1，4).
∴综上可知，存在点Q(1，2+ )或Q(1，4)，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.
专项十一 开放探索型问题
27.(2012连云港，27，12分)(本题满分12分)
已知梯形ABCD, AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3.
问题1：如图1，P为AB边上一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么?
如图2，P为AB边上任意一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD，请问对角线PQ，的长是否存在最小值?若果存在，请求出最小值;如果不存在，请说明理由。
问题3：P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，以PE、PC为边做平行四边形PCQE，请探究对角线PQ，的长是否也存在最小值?若果存在，请求出最小值;如果不存在，请说明理由。
问题4：如图3，P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA,(n为常数)以PE、PB为边做平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?若果存在，请直接写出最小值;如果不存在，请说明理由。
【解析】.(1)只要看∠DPC能否为90°，在在Rt△DPC中，由勾股定理列出方程，根据方程是否有解确定对角线PQ与DC能不能相等。。(2)、(3)(4)可找PQ最小时点P的位置，利用全等三角形、相似三角形列方程求线段PQ的长。
【答案】
(1) 问题1：因为四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形。
所以∠DPC=90°，
因为AD=1，AB=2，BC=3.
所以DC=2 ，
设PB=x,则AP=2-x,
在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+ (2-x)2+1=8,
化简得x2-2x+3=0,因为△=(-2)2-4×1×3=-8<0，方程无解，
所以对角线PQ与DC不可能相等。
问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，所以点G是DC的中点，
作QH⊥BC，交BC的延长线于H。
因为AD∥BC，
所以∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+QCH，
因为PD∥CQ，
所以∠PDC=∠DCQ，所以∠ADP=∠QCH，
又PD=CQ，
所以Rt△ADP≌Rt△HCQ,
所以AD=HC。
因为AD=1，BC=3，所以BH=4，所以当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4.
问题3：如图3，设PQ与DC相较于点G。
因为PE∥CQ，PD=DE,所以 ，所以G是DC上一定点。
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP=∠QCH，
所以Rt△ADP∽Rt△HCQ
即 ，所以CH=2.
所以BH=BC+CH=3+2=5，
所以当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5.
问题4：存在最小值，最小值为 (n+4)。
(注：各题如有其它解法，只要正确，均可参照给分)
【点评】本题是一个动态几何题，此题是一道综合性较强的题目，主要考查学生的图感，利用点P的运动过程，确定PQ最小时，P所在线段的位置，考察到的到的知识点比较多，需要同学们利用全等三角形和相似三角形的性质确定PQ的最小值是否存在.本题的亮点是由有三角形全等到三角形相似而引出一般情况.
28.((2012江苏泰州市，28，本题满分12分)如图，已知一次函数y1=kx+b的图像与x轴相交于点A，与反比例函数y2= 的图像相交于B(-1,5)、C( )两点.点P(m，n)是一次函数y1=kx+b的图像上的动点.
(1)求k、b的值;
(2)设-1
(3)设m=1-a，如果在两个实数m与n之间(不包括m和n)有且只有一个整数，求实数a的取值范围.
(第28题图)
【解析】(1)先将B点坐标代入y2，求出c，从而确定y2的解析式，然后再将C点代入求出d，最后将B、C代入y1即可
(2)先确定△PAD的面积的解析式，如何再利用二次函数的最值解决，从而得到P点坐标
(3)分情况讨论列出不等式解决即可
【答案】(1)将B点坐标代入y2，得：c=5，将点C横坐标代入，得d=-2，将B、C代入直线解析式，求得：k=-2，b=3;
(2)令y1=0，x= ，A( ，0)，由题意得，点P在线段AB上运动(不含A、B)，设点P( ，n)，因为DP平行于x轴，所以yD=yP=n，所以D(- ，n)，所以S= PD yP= ( + ) 5=- (n- )2+ ，而-2m+3=n，得：0
(3)由已知P(1-a，2a+1)，易知， m≠n，1-a≠2a+1，a≠0;若a>0，m<10，n≤2，解出不等式组的解集：0
【点评】本题主要考查反比例函数、一次函数的知识，求函数的解析式通常采用“待定系数法”，此题的关键在于分清顺序逐步求解，做题过程中要特别注意线段长度与坐标之间的转换，尤其是符号的变化，还考查了数形结合、分类讨论等数学思想方法以及分析问题、解决问题的综合能力.
23. (2012浙江丽水10分，23题)(本题10分)在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC.
(1)如图1，当点A的横坐标为_______时，矩形AOBC是正方形;
(2)如图2，当点A的横坐标为- 时，
①求点B的坐标;
②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2，试判断抛物线y=-x2经过平移变换后，能否经过A，B，C三点?如果可以，说出变换的过程;如果不可以，请说明理由.
【解析】：(1)若矩形AOBC是正方形，则∠AOC=∠BOC=45°，即点A在象限角平分线上，设点A坐标为(x，-x)，则有-x=x2，∴x=0(舍去)或x=-1.(2)①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F.求出OE，AE的长，再由△AEO∽△OFB得 ，进而借助方程求出B点坐标;②过点C作CG⊥GF于点G，先求出C点坐标，再利用待定系数法求出经过A、B两点的抛物线的解析式，判断出点C在过A、B两点的抛物线上.先将抛物线化成顶点式，进而根据抛物线平移规律说出变换过程.
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