再易得△ABE∽△OED, 可求抛物线的顶点坐标,再画出几何关系图,根据不同情况求出E的个数.
解:(1)把点A(3,6)代入y=kx 得6=3k , ∴k=2 ,
∴y=2x ………………………2分
OA= ………………………………………………………………3分
(2) 是一个定值 ,理由如下:
过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H .
①当QH与QM重合时,显然QG与QN重合,
此时 ;
②当QH与QM不重合时,∵QN⊥QM,QG⊥QH
不妨设点H,G分别在x、y轴的正半轴上
∴∠MQH =∠GQN 又∵∠QHM=∠QGN=90°∴△QHM∽△QGN …5分
∴
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时,同理可得 …………………7分
(3)延长AB交x轴于点F,过点F作FC⊥OA于点C,过点A作AR⊥x轴于点R
∵∠AOD=∠BAE ∴AF=OF ∴OC=AC= OA=
∵∠ARO=∠FCO=90° ∠AOR=∠FOC
∴△AOR∽△FOC ∴
∴OF= ∴点F( ,0)
设点B(x, ),过点B作BK⊥AR于点K,则△AKB∽△ARF
∴ 即 解得x1=6 ,x2=3(舍去)
∴点B(6,2) ∴BK=6-3=3 AK=6-2=4 ∴AB=5 …8分
(求AB也可采用下面的方法)
设直线AF为y=kx+b(k≠0) 把点A(3,6),点F( ,0)代入得
k= ,b=10 ∴
∴ (舍去) ∴B(6,2)∴AB=5 …8分
(其它方法求出AB的长酌情给分)
在△ABE与△OED中
∵∠BAE=∠BED ∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB ∴∠ABE=∠DEO
∵∠BAE=∠EOD ∴△ABE∽△OED ………………………………………9分
设OE=x,则AE= -x ( ) 由△ABE∽△OED得
∴ ∴ ( )…10分
∴顶点为( , ),
如图,当 时,OE=x= ,此时E点有1个;当 时,任取一个m的值都对应着两个x值,此时E点有2个.
∴当 时,E点只有1个 ……11分
当 时,E点有2个 ……12分
【点评】本题综合考查了反比例函数的性质、相似三角形的性质,抛物线的性质、一次函数的性质,是一道对学生能力要求较高的题.
26.(2012重庆,26,12分)已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3。E为BC边上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.
(l)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时,求BE的长;
(2)将(l)问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFC为正方形B'EFG,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B'EFG的边EF与AC交于点M,连接B'D,B'M,DM,是否存在这样的t,使△B'DM是直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)问的平移过程中,设正方形B'EFG与△ADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.
解析:用t表示有关线段的长度,是解决本题的关键。
答案:(1)如答图1所示,设BE长为x,∵△AGF∽△ABC ∴ ,∴x=2,即BE=2
(2)如图2,由题意知,BB’=t,DH=3,BH=2,CE=4-t, ∵△CEM∽△ABC, ∴
ME=2- ,根据勾股定理得:B’M = ,B’D =t -4t+13,DM = +t+1
分三种情况讨论:①若∠DB’M=90°,则有B’M + B’D = DM ,求得t= ,②若∠B’MD=90°,则有B’M + DM = B’D ,求得t= -3,③若∠B’DM=90°则有B’D + DM = B’M ,无解
(3)当0≤t< 时,s= t
当 ≤t<2时,s=- t +t-
当2≤t< 时,s=- t +2t-
当 ≤t<4时,s=- t+
点评:解决本题的关键是会用t表示出各个线段的长度,然后用勾股定理就可求出答案。
24. (2012浙江丽水12分,24题)(本题12分)在△ABC中,∠ABC=45°,tan∠ACB= ,如图,把△ABC的一边放置在x轴上,有OB=14,OC= ,AC与y轴交于点E.
(1)求AC所在直线的函数解析式;
(2)过点O作OG⊥AC,垂足为G,求△OEG的面积;
(3)已知点F(10,0),在△ABC的边上取两点P,Q,是否存在以O,P,Q为顶点的三角形与△OFP全等,且这两个三角形在OP的异侧?若存在,请求出所有符合题意的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】:(1)解直角△OCE求出E点坐标,再利用待定系数法求直线的解析式.
(2)解直角三角形OCE,求出EG,OG,利用三角形面积公式即可求面积;(3)应分类加以讨论.
解:(1)在Rt△OCE中,OE=OCtan∠OCE= ,∴点E(0,2 ).
设直线AC的函数解析式为y=kx+2 ,有 k+2 =0,解得k=- ,
∴直线AC的函数解析式为y=- x+2 .
(2)方法1:在Rt△OGE中,tan∠EOG=tan∠OCE= ,
设EG=3t,OG=5t,OE= = t,∴2 = t,得t=2.
故EG=6,OG=10.
∴S△OEG= OG×EG= ×10×6=30.
方法2:在Rt△OCE中,∵tan∠OCE= ,∴sin∠OCE= .
∴OG=OCsin∠OCE= =10.
在Rt△OEG中,EG=OGtan∠OCE=10× =6,
∴S△OEG= OG×EG= ×10×6=30.
(3)①当点Q在AC上时,点Q即为点G,
如图1,作∠FOQ的平分线交CE于点P1,
由△OP1F≌△OP1Q,则有P1F⊥x轴,由于点P1在直线AC上,当x=10时,
y=- ×10+2 =2 -6.
∴点P1(10,2 -6).
②当点Q在AB上时,
如图2,有OQ=OF,作∠FOQ的角平分线交CE于点P2,
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