(2)证明：由题意得：△ABC≌△AED。
∴AB=AE，∠ABC=∠E。
在△AFB和△AGE中，∵∠ABC=∠E，AB=AE，∠α=∠α，
∴△AFB≌△AGE(ASA)。
【考点】翻折变换(折叠问题)，旋转的性质，全等三角形的判定。
【分析】(1)根据题意画出图形，注意折叠与旋转中的对应关系。
(2)由题意易得△ABC≌△AED，即可得AB=AE，∠ABC=∠E，然后利用ASA的判定方法，即可证得△AFB≌△AGE。
2. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分)△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B.
(1)如图(1)当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形.
(2)如图(2)，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论.
(3)在图(2)中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的 时，求线段EF的长.
【答案】解：(1)图(1)中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE。
(2)△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE。
∵AB=AC，∴∠B=∠C。∴△BDF∽△CED。∴ 。
∵BD=CD，∴ ，即 。
又∵∠C=∠EDF，∴△CED∽△DEF。∴△BDF∽△CED∽△DEF。
(3)连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H.
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD= BC=6。
在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣62，
∴AD=8。
∴S△ABC= •BC•AD= ×12×8=48，
S△DEF= S△ABC= ×48=12。
又∵ •AD•BD= •AB•DH，∴ 。
∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD。
∵DH⊥BF，DG⊥EF，∴∠DHF=∠DGF。
又∵DF=DF，∴△DHF≌△DGF(AAS)。∴DH=DG= 。
∵S△DEF= •EF•DG= •EF• =12，∴EF=5。
3. (2012湖北恩施8分)如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，
再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB.类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′.这是B″就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.
【答案】证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1。
∴ 。
又B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E= ﹣1。
又∵AB″=AB′，∴AB″= ﹣1。
∴ 。∴点B″是线段AB的黄金分割点。
【考点】翻折(折叠)问题，正方形的性质，勾股定理，折叠对称的性质，黄金分割。
【分析】设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AB″的长，二者相比即可得到黄金比。
4. (2012湖北襄阳12分)如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处.分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点.
(1)求AD的长及抛物线的解析式;
(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?
(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在，请说明理由.
【答案】解：(1)∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10。
由折叠的性质得，△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD。
由勾股定理易得EO=6。∴AE=10﹣6=4。
设AD=x，则BD=CD=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=(8﹣x)2，解得，x=3。
∴AD=3。
∵抛物线y=ax2+bx+c过点D(3，10)，C(8，0)，
∴ ，解得 。∴抛物线的解析式为： 。
(2)∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，
由(1)可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t。
当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴ ，即 ，解得 。
当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴ ，即 ，解得 。
∴当 或 时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似。
(3)存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M1(﹣4，﹣32)，N1(4，﹣38);
②M2(12，﹣32)，N2(4，﹣26);③M3(4， )，N3(4，﹣ )。
【考点】二次函数综合题，折叠和动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。
【分析】(1)根据折叠图形的轴对称性，△CED≌△CBD，在Rt△CEO中求出OE的长，从而可得到AE的长;在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长.进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式。
(2)由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值。
(3)假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：
①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点。
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