∴所求k值为-1.
②如图5,∵k1=-1,y=-2x2+2x+1=-2(x- )2+ .
且-1≤x≤1.
由图象知:当x=-1时, y 最小=-3;当x= 时,y最大= .
∴y的最大值为 ,最小值为-3.
【答案】(1) k≤2(2)①k值为-1②y的最大值为 ,最小值为-3.
【点评】本题是函数与方程的一个综合性题目,考察了函数、方程、不等式的有关知识。在计算时由于没有说明二次项系数是否为零,因此首先应进行分类讨论。在解决二次函数与图象与x轴的交点问题时,应利用判别式进行计算,结合一元二次方程有关知识如根与系数的关系、根代入原方程可以得到等式等。另外,计算二次函数在某一段的最值时,要结合图象进行计算,防止出现端点值是该段的极值的错误
(2012北海,26,12分)26.如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(-2,0)、B(0,1)、C(d,2)。
(1)求d的值;
(2)将△ABC沿x轴的正方向平移,在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式;
(3)在(2)的条件下,直线B′C′交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P,使得四边形PGMC是平行四边形。如果存在,请求出点M和点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
【解析】(1)见下图,过点C作CN⊥x轴于点N,易证Rt△CNA≌Rt△AOB,可得ON=7,点C在第二象限,所以d=-3 。
(2)因为是平移,所以点B、C只有横坐标发生变化,纵坐标不变。设C′(E,2),则B′(E+3,1),将其代入到反比例函数的表达式 中,求出E的值为3,则k=6,可得反比例函数解析式为 。点C′(3,2);B′(6,1)。利用待定系数法求出B′C′的解析式。
(3)根据平行四边形的性质,平行四边形两条对角线互相平分,即GC′的中点Q就是对角线的交点。易知点Q的坐标为( ),即( , )。过Q作直线PM,与反比例函数交于P点,与x轴交于M点,过P作PH⊥x轴于H点,过Q分别作QK、QF垂直于y轴和x轴,QK交PH于E点,根据平行四边形的性质可得QP=QM,易证△P′EQ≌△QFM′,设EQ=FM′=t,则点P的横坐标x为 ,点P的纵坐标y= ,点M′的坐标是( ,0),由点Q( , ),可知PE= 。由P′Q=QM′,由勾股定理得P′E2+EQ2=QF2+FM′2,整理后求出t的值,进而求出点P、M的坐标。
【答案】解:(1)作CN⊥x轴于点N。 1分
在Rt△CNA和Rt△AOB中
∵NC=OA=2,AC=AB
∴Rt△CNA≌Rt△AOB 2分
则AN=BO=1,NO=NA+AO=3,且点C在第二象限,
∴d=-3 3分
(2)设反比例函数为 ,点C′和B′在该比例函数图像上,
设C′(E,2),则B′(E+3,1) 4分
把点C′和B′的坐标分别代入 ,得k=2E;k=E+3,
∴2E=E+3,E=3,则k=6,反比例函数解析式为 。 5分
得点C′(3,2);B′(6,1)。
设直线C′B′的解析式为y=ax+b,把C′、B′两点坐标代入得 6分
∴解之 得: ;
∴直线C′B′的解析式为 。 7分
(3)设Q是G C′的中点,由G(0,3),C′(3,2),得点Q的横坐标为 ,点Q的纵坐标为2+ = ,
∴Q( , ) 8分
过点Q作直线l与x轴交于M′点,与 的图象交于P′点,
若四边形P′G M′ C′是平行四边形,则有P′Q=Q M′,易知点M′的横坐标大于 ,点P′的横坐标小于
作P′H⊥x轴于点H,QK⊥ y轴于点K,P′H与QK交于点E,
作QF⊥x轴于点F,则△P′EQ≌△QFM′ 9分
设EQ=FM′=t,则点P′的横坐标x为 ,点P′的纵坐标y为 ,
点M′的坐标是( ,0)
∴P′E= 。 10分21世纪教育网
由P′Q=QM′,得P′E2+EQ2=QF2+FM′2,
∴
整理得: ,解得 (经检验,它是分式方程的解) 11分
∴ ; ; 。
得P′( ,5),M′( ,0),则点P′为所求的点P,点M′为所求的点M。 12分
【点评】本题作为压轴题,难度比较大,但是第一问思路比较清晰,△ABC与坐标轴构成的图形比较常见,通过三角形全等,可以求出点C的坐标,为后面大题搭了一个台阶。第二问求两种函数的解析式,上了一个台阶,B′、C′的坐标中有字母t,学生不易处理,增加了点难度,顺着做也可以。待定系数法是初中阶段求函数解析式的重要方法,学生必须掌握。第三问的难度陡然提了上来,也是考查学生能力所在,先提出假设,然后求解。整理来说,本题中共作了5条辅助线,学生不易考虑到,难度偏大。
21.(2012贵州六盘水,21,12分)假期,六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训,教育局按定额购买了前往四地的车票,图9是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图,请根据统计图回答下列问题:
(1)若去C地的车票占全部车票的30%,则去C地的车票数量是 ▲ 张,补全统计图9
(2)若教育局采用随机抽取的方式分发车票,每人一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀),那么余老师抽到去B地的概率是多少?
(3)若有一张去A地的车票,张老师和李老师都想要,决定采取旋转转盘的方式来确定,其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4,乙转盘被分成三等份且标有数字7、8、9,如图10 所示.具体规定是:同时转动两个转盘,当指针指向的两个数字之和是偶数时,票给李老师,否则票给张老师(指针指在线上重转).试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平.
分析:
解答:
点评:本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.
专项七 代数综合型问题(41)
8(2012山东省荷泽市,8,3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=bx+c和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是 ( )
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