解法一：(从特殊位置考虑) 解法二：(从特殊元素考虑)若选： 若不选：
则共有 + =136080
解法三：(间接法) 136080
示例二：
⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法?
略解：甲、乙排在前排 ;丙排在后排 ;其余进行全排列 .
所以一共有 =5760种方法.
⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种?
略解：(“捆绑法”和“插空法”的综合应用)a, b捆在一起与e进行排列有 ;
此时留下三个空，将c, d两种商品排进去一共有 ;最后将a, b“松绑”有 .所以一共有 =24种方法.
⑶ 6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种?
略解：(分类)若第一个为老师则有 ;若第一个为学生则有
所以一共有2 =72种方法.
示例三：
⑴ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数?
略解： ⑵ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数?
解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有 种方法;另一类是首位不为1，有 种方法.所以一共有 个数比13 000大.
解法二：(排除法)比13 000小的正整数有 个，所以比13 000大的正整数有 =114个.
示例四： 用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列.
⑴ 第114个数是多少? ⑵ 3 796是第几个数?
解：⑴ 因为千位数是1的四位数一共有 个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有 个;同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第6个位置上，所以“3 968” 是第114个数.
⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有60+12+12=84个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个(倒数第二个)，故3 796是第95个数.
示例五： 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中
⑴ 能被25整除的数有多少个?
⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个?
解： ⑴ 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有 个，末尾为25的有 个，所以一共有 + =21个.
注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况.
⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有 个.因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的有 个.
三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性.
四、作业：“3+X”之 排列 练习
组 合 ⑴
课题：组合、组合数的概念
目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式.
过程：
一、复习、引入：
1.复习排列的有关内容：
定 义特 点相同排列公 式
排 列
以上由学生口答.
2.提出问题：
示例1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法?
示例2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法?
引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的.
引出课题：组合问题.
二、新授：
1.组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
注：1.不同元素 2.“只取不排”——无序性 3.相同组合：元素相同
判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：
⑴ 从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览;(组合)
⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记.(排列)
2.组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 表示.
例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙.即有 种组合.
又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合，即： 在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关.那么又如何计算 呢?
3.组合数公式的推导
⑴提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数 是多少呢?
启发： 由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数 可以求得，故我们可以考察一下 和 的关系，如下：
组 合 排列
由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数 ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有 个;② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有 种方法.由分步计数原理得： = ，所以： .
⑵ 推广： 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 ，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数 ;② 求每一个组合中m个元素全排列数 ，根据分布计数原理得： = ⑶ 组合数的公式：
或 ⑷ 巩固练习：
1.计算：⑴ ⑵ 2.求证： 3.设 求 的值.
解：由题意可得： 即：2≤x≤4
∵ ∴x=2或3或4
当x=2时原式值为7;当x=3时原式值为7;当x=2时原式值为11.
∴所求值为4或7或11.
4.例题讲评
例1. 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分
法?
略解： 例2.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种?
解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有 ， ， ，所以一共有 + + =100种方法.
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