①当 且 为偶数时
②当 且 为奇数时 (添项放缩)由①知 由①②得证。
八、线性规划型放缩
例31. 设函数 .若对一切 ， ，求 的最大值。
解析:由 知 即
由此再由 的单调性可以知道 的最小值为 ，最大值为
因此对一切 ， 的充要条件是， 即 ， 满足约束条件 ，
由线性规划得， 的最大值为5.
九、均值不等式放缩
例32.设 求证
解析: 此数列的通项为
， ，
即
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ，若放成 则得 ，就放过“度”了!
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
其中， 等的各式及其变式公式均可供选用。
例33.已知函数 ，若 ，且 在[0，1]上的最小值为 ，求证：
解析:
例34.已知 为正数，且 ，试证：对每一个 ， .
解析: 由 得 ，又 ，故 ，而 ，
令 ，则 = ，因为 ，倒序相加得 = ，
而 ，
则 = ，所以 ，即对每一个 ， .
例35.求证
解析: 不等式左 = ，
原结论成立.
例36.已知 ,求证:
解析:
经过倒序相乘,就可以得到
例37.已知 ,求证:
解析:
其中: ,因为
所以
从而 ,所以 .
例38.若 ,求证: .
解析:
因为当 时, ,所以 ,所以 ,当且仅当 时取到等号.
所以
所以 所以
例39.已知 ,求证: .
解析: .
例40.已知函数f(x)=x2-(-1)k•2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,
求证: [f’(x)]n-2n-1•f’(xn)≥2n(2n-2).
解析: 由已知得 ，
(1)当n=1时，左式= 右式=0.∴不等式成立.
(2) , 左式=
令
由倒序相加法得：
，
所以
所以 综上，当k是奇数， 时，命题成立
例41. (2007年东北三校)已知函数
(1)求函数 的最小值，并求最小值小于0时的 取值范围;
(2)令 求证：
★例42. (2008年江西高考试题)已知函数 , .对任意正数 ,证明： .
解析:对任意给定的 , ,由 ,
若令 ，则 ① ,而 ②
(一)、先证 ;因为 ， ， ，
又由 ，得 .
所以
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.
(二)、再证 ;由①、②式中关于 的对称性，不妨设 .则
(ⅰ)、当 ，则 ，所以 ，因为 ，
，此时 .
(ⅱ)、当 ③，由①得 , ， ，
因为 所以 ④
同理得 ⑤ ，于是 ⑥
今证明 ⑦, 因为 ，
只要证 ，即 ，也即 ，据③，此为显然.
因此⑦得证.故由⑥得 .
综上所述，对任何正数 ，皆有 .
例43.求证:
解析:一方面:
(法二)
另一方面:
十、二项放缩
, ,
例44. 已知 证明
解析:
，
即
45.设 ，求证：数列 单调递增且
解析: 引入一个结论：若 则 (证略)
整理上式得 ( )
以 代入( )式得
即 单调递增。
以 代入( )式得
此式对一切正整数 都成立，即对一切偶数有 ，又因为数列 单调递增，所以对一切正整数 有 。
注：①上述不等式可加强为 简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：
只取前两项有 对通项作如下放缩：
故有
②上述数列 的极限存在，为无理数 ;同时是下述试题的背景：已知 是正整数，且 (1)证明 ;(2)证明 (01年全国卷理科第20题)
简析 对第(2)问：用 代替 得数列 是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法：数列 递减，且 故 即 。
当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。
例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：
解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为 成等差数列，设 ，
从而
例47.设 ，求证 .
解析: 观察 的结构，注意到 ，展开得
，即 ，得证.
例48.求证: . 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)
例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数 ，满足：
①对任意 ，都有 ;
②对任意 都有 .
(I)试证明： 为 上的单调增函数;
(II)求 ;
(III)令 ，试证明：.
解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
(1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为 ,所以可以得到 ,
也就是 ,不妨设 ,所以,可以得到 ,也就是说 为 上的单调增函数.
(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由(1)可知 ,令 ,则可以得到
,又 ,所以由不等式可以得到 ,又
,所以可以得到 ①
接下来要运用迭代的思想:
因为 ,所以 , , ②
, , ,
在此比较有技巧的方法就是:
,所以可以判断 ③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有 =
(3)在解决 的通项公式时也会遇到困难.
,所以数列 的方程为 ,从而 ,
一方面 ,另一方面
所以 ,所以,综上有
.
例49. 已知函数fx的定义域为[0,1]，且满足下列条件：
① 对于任意 [0,1]，总有 ，且 ;② 若 则有
(Ⅰ)求f0的值;(Ⅱ)求证：fx≤4;
(Ⅲ)当 时，试证明： .
解析: (Ⅰ)解：令 ，由①对于任意 [0,1]，总有 ， ∴
又由②得 即 ∴
(Ⅱ)解：任取 且设 则
因为 ，所以 ，即 ∴ .
∴当 [0,1]时， .
(Ⅲ)证明：先用数学归纳法证明：
(1) 当n=1时， ，不等式成立;
(2) 假设当n=k时，
由
得
即当n=k+1时，不等式成立
由(1)、(2)可知，不等式 对一切正整数都成立.
于是，当 时， ，
而 [0,1]， 单调递增 ∴ 所以，
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