∴SΔAOB= = 。
∴SΔAOB的最小值为1，此时m=1,A(1,1)。
∴直线OA的一次函数解析式为y=x。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。
【分析】(1)求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值.已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项(由此得到a的值);然后从方程入手求b的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形(转化为两根和、两根积的形式)，结合根与系数的关系即可求出b的值。
(2)将 配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。
(3)结合(1)的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式;在Rt△OAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值，从而由待定系数法确定一次函数OA的解析式。
别解：由题意可求抛物线C2的解析式为：y=x2。
∴A(m，m2)，B(n，n2)。
过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
则
由 得 ，即 。∴ 。
∴ 。
∴SΔAOB的最小值为1，此时m=1,A(1,1)。
∴直线OA的一次函数解析式为y=x。
4. (2012湖北荆门12分)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE= ，A(3，0)，D(﹣1，0)，E(0，3).
(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;
(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线;
(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由;
(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0
【答案】解：(1)∵抛物线经过点A(3，0)，D(﹣1，0)，∴设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1)。
将E(0，3)代入上式，解得：a=﹣1。
∴抛物线的解析式为y=-(x﹣3)(x+1)，即y=﹣x2+2x+3。
又∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴点B(1，4)。
(2)证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4).
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°， 。
在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°， 。
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。
∴AB是△ABE外接圆的直径。
在Rt△ABE中， ，∴∠BAE=∠CBE。
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°，即CB⊥AB。
∴CB是△ABE外接圆的切线。
(3)存在。点P的坐标为(0，0)或(9，0)或(0，﹣ )。
(4)设直线AB的解析式为y=kx+b.
将A(3，0)，B(1，4)代入，得 ，解得 。
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x= ，∴F( ，3)。
情况一：如图2，当0
则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L.
由△AHD∽△FHM，得 ，即 ，解得HK=2t。
∴
= ×3×3﹣ (3﹣t)2﹣ t•2t=﹣ t2+3t。
情况二：如图3，当
由△IQA∽△IPF，得 .即 ，
解得IQ=2(3﹣t)。
∴
= ×(3﹣t)×2(3﹣t)﹣ (3﹣t)2= (3﹣t)2= t2﹣3t+ 。
综上所述： 。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。
【分析】(1)已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。
(2)过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可.BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，从而得证。
(3)在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，sin∠BAE= ，cos∠BAE= 。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。
①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。
由D(﹣1，0)、E(0，3)，得OD=1、OE=3，
即tan∠DEO= =tan∠BAE，
即∠DEO=∠BAE，满足△DEO∽△BAE的条件。
因此 O点是符合条件的P1点，坐标为(0，0)。
②DE为短直角边时，P2在x轴上。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE= 。
而DE= ，则DP2=DE÷sin∠DP2E= ÷ =10，OP2=DP2﹣OD=9。
即P2(9，0)。
③DE为长直角边时，点P3在y轴上。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，
则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE= 。
则EP3=DE÷cos∠DEP3= ÷ ，OP3=EP3﹣OE= 。即P3(0，﹣ )。
综上所述，得：P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，﹣ )。
(4)过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形;当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形.按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。
5. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田12分)如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(﹣1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点.
(1)求抛物线解析式及点D坐标;
(2)点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标;
(3)过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′.是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上?若存在，求出此时点P的坐标;若不存在，说明理由.
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