2.方差D(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度，统计中常用标准差D(ξ)描述ξ的分散程度.
12.11 正态分布
典例精析
题型一 研究正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
【例1】 某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为122π，求总体位于区间[-4，-2]的概率.
【解析】由正态曲线的密度函数是偶函数知μ=0，由最大值为122π知σ=2，
所以P(-2≤x≤2)=P(μ-σ≤x≤μ+σ)=0.682 6，
P(-4≤x≤4)=P(μ-2σ≤x≤μ+2σ)=0.954 4，
所以P(-4≤x≤-2)=12×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9.
【点拨】应当熟记：
P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.682 6;
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.954 4;
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.997 4.
【变式训练1】设X~N(1,22)，试求：
(1)P(-1
(2)P(X≥5).
【解析】因为X～N(1,22)，所以μ=1，σ=2.
(1)P(-1
(2)因为P(X≥5)=P(X≤-3)，
所以P(X≥5)=12[1-P(-3
=12[1-P(1-4
=12[1-P(μ-2σ
=12(1-0.954 4)=0.022 8.
题型二 利用正态总体密度函数估计某区间的概率
【例2】 已知某地区数学考试的成绩X~N(60,82)(单位：分)，此次考生共有1万人，估计在60分到68分之间约有多少人?
【解析】由题意μ=60，σ=8，
因为P(μ-σ
所以P(52
又此正态曲线关于x=60对称，
所以P(60
从而估计在60分到68分之间约有341 3人.
【点拨】本题是教材变式题，将原题中单纯(μ-σ，μ+σ)的概率考查结合了正态曲线的对称性以及概率的意义，使题目更具实际意义.另外，还可将问题变为(44,76)、(68,76)等区间进行探讨.
【变式训练2】某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.
【解析】由μ=30，σ=10，P(μ-σ
总结提高
1.服从正态分布的随机变量X的概率特点
若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即P(X=a)=0，而{X=a}并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(X
2.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ-σ
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
①正态曲线关于直线x=μ对称，从而在关于x=μ对称的区间上概率相同.
②P(X
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