【解析】方法一：ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,5.
P(ξ=0)=2535=32243，P(ξ=1)= =80243，
P(ξ=2)= =80243，P(ξ=3)= =40243，
P(ξ=4)= =10243，P(ξ=5)=135=1243.
从而ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
方法二：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.
故ξ～B(5，13)，即有
P(ξ=k)=Ck5(13)k(23)5-k，k=0,1,2,3,4,5.
由此计算ξ的分布列如方法一.
总结提高
独立重复试验是同一试验的n次重复，每次试验结果的概率不受其他次结果的概率的影响，每次试验有两个可能结果：成功和失败.n次试验中A恰好出现了k次的概率为Cknpk(1-p)n-k，这k次是n次中的任意k次，若是指定的k次，则概率为pk(1-p)n-k.
12.10 离散型随机变量的期望与方差
典例精析
题型一 期望与方差的性质的应用
【例1】设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=16(k=1,2,3,4,5,6)，求E(ξ)，E(2ξ+3)和D(ξ)，D(2ξ+3).
【解析】E(ξ)=x1p1+x2p2+…+x6p6=3.5，
E(2ξ+3)=2E(ξ)+3=10，
D(ξ)=(x1-E(ξ))2p1+(x2-E(ξ))2p2+…+(x6-E(ξ))2p6=3512，D(2ξ+3)=4D(ξ)=353.
【点拨】在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要弄清其分布特征及分布列，再准确运用公式，特别是利用性质解题.
【变式训练1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.
(1)求ξ的分布列、期望和方差;
(2)若η=aξ+b，E(η)=1，D(η)=11，试求a，b的值.
【解析】(1)ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4
P
所以E(ξ)=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=1.5，
D(ξ)=(0-1.5)2×12+(1-1.5)2×120+(2-1.5)2×110+(3-1.5)2×320+(4-1.5)2×15=2.75.
(2)由D(η)=a2D(ξ)，得a2×2.75=11，即a=±2.又E(η)=aE(ξ)+b，
所以当a=2时，由1=2×1.5+b，得b=-2;
当a=-2时，由1=-2×1.5+b，得b=4.
所以 或
题型二 期望与方差在风险决策中的应用
【例2】 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ、η，ξ和η的分布列如下：
ξ 0 1 2
P
η 0 1 2
P
试对这两名工人的技术水平进行比较.
【解析】工人甲生产出的次品数ξ的期望和方差分别为：
E(ξ)=0×610+1×110+2×310=0.7，
D(ξ)=(0-0.7)2×610+(1-0.7)2×110+(2-0.7)2×310=0.81.
工人乙生产出的次品数η的期望和方差分别为：
E(η)=0×510+1×310+2×210=0.7，D(η)=(0-0.7)2×510+(1-0.7)2×310+(2-0.7)2×210=0.61.
由E(ξ)=E(η)知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(ξ)>D(η)，可见乙的技术比较稳定.
【点拨】期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定.
【变式训练2】利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 .
【解析】利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：
50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7;
70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5;
-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7;
98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6.故选A3.
题型三 离散型随机变量分布列综合问题
【例3】(2010浙江)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落入A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖.
(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ);
(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2).
【解析】(1)由题意得ξ的分布列为
ξ 50% 70% 90%
p
则E(ξ)=316×50%+38×70%+716×90%=34.
(2)由(1)可知，获得1等奖或2等奖的概率为316+38=916.由题意得η～(3，916)，则P(η=2)=C23(916)2(1-916)=1 7014 096.
【变式训练3】(2010北京市东城区)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为127.
(1)求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率;
(2)抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ).
【解析】(1)设抛掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为P，依题意有C33•P3=127，解得
P=13.
所以抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为P3(2)=C23×(13)2×23=29.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
P(ξ=0)=C03×(23)3×12=427;
P(ξ=1)=C03×(23)3×12+C13×13×(23)2×12=1027;
P(ξ=2)=C13×13×(23)2×12+C23×(13)2×23×12=13;
P(ξ=3)=C23×(13)2×23×12+C33×(13)3×12=754;
P(ξ=4)=C33×(13)3×12=154.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)=0×427+1×1027+2×13+3×754+4×154=32.
总结提高
1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均; E(ξ)是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，即作为随机变量ξ是可变的，可取不同值，而E(ξ)是不变的，它描述ξ取值的平均状态.
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