题型二 有放回抽样与不放回抽样
【例2】 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.
(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率;
(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.
【解析】(1)有放回地抽取3次，按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则x，y，z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种;设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83 种，因此，P(A)= =0.512.
(2)方法一：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x，y，z)，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种.设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336， 所以P(B)=336720≈0.467.
方法二：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但(x，y，z)，(x，z，y)，(y，x，z)，(y，z，x)，(z，x，y)，(z，y，x)是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120.按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)=56120≈0.467.
【点拨】关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.
【变式训练2】有5张卡片，上面分别写有0,1,2,3,4中的1个数.求：
(1)从中任取两张卡片，两张卡片上的数字之和等于4的概率;
(2)从中任取两次卡片，每次取一张，第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次，两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率.
【解析】(1)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有4种，任取两张卡片共有10种，所以概率为P=410=25;
(2)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有5种，任取两张卡片共有25种，所以概率为P=525=15.
题型三 古典概型问题的综合应用
【例3】 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球;乙袋装有2个红球，n个白球.从甲、乙两袋中各任取2个球.
(1)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率;
(2)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n.
【解析】(1)记“取到的4个球全是红球”为事件A，
P(A)=C22C24•C22C25=16×110=160.
(2)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2.
由题意，得P(B)=1-34=14.
P(B1)=C12C12C24•C2nC2n+2+C22C24•C12C1nC2n+2=2n23(n+2)(n+1)，
P(B2)=C22C24•C2nC2n+2=n(n-1)6(n+2)(n+1).
所以P(B)=P(B1)+P(B2)=2n23(n+2)(n+1)+n(n-1)6(n+2)(n+1)=14，化简得7n2-11n-6=0，解得n=2或n=-37(舍去)，故n=2.
【变式训练3】甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙二人一次各抽取一题.
(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?
(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少?
【解析】(1)甲从选择题中抽到一题的可能结果有C16个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是C 14，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为C16×C14=24.又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有C110×C19=90，
所以概率为2490=415.
(2)甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9=90.
方法一：(分类计数原理)
①只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4=24;
②只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4=24;
③甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5=30.
故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是24+24+3090=1315.
方法二：(利用对立事件)
事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件.
事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3=12.
故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是1-1290=1-215=1315.
总结提高
1.对古典概型首先必须使学生明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数n必须是有限个;②出现的各个不同的试验结果数m其可能性大小必须是相同的.只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式P(A)=mn得出的结果才是正确的.使用公式P(A)=mn计算时，确定m、n的数值是关键所在.
2.对于n个互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式为P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
3.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.
4.在应用题背景条件下，能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键，也是考查学生分析问题、解决问题的能力的重要环节.
12.6 几何概型
典例精析
题型一 长度问题
【例1】如图，∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，
试求：
(1)△AOC为钝角三角形的概率;
(2)△AOC为锐角三角形的概率.
【解析】如图，由平面几何知识知：
当AD⊥OB时，OD=1;当OA⊥AE时，OE=4，BE=1.
(1)当且仅当点C在线段OD或BE上时，△AOC为钝角三角形.
记“△AOC为钝角三角形”为事件M，则P(M)=OD+EBOB=1+15=0.4，即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.
(2)当且仅当点C在线段DE上时，△AOC为锐角三角形.
记“△AOC为锐角三角”为事件N，则P(N)=DEOB=35=0.6，即△AOC为锐角三角形的概率为0.6.
【点拨】我们把每一个事件理解为从某个特定的区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个事件发生则理解为恰好在上述区域内的某个指定的区域内的点，这样的概率模型就可以用几何概型求解.
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