②求证：四边形ODME是矩形.
【答案】解：(1)①把x= 代入 y=x2，得 y=2，∴P( ，2)，∴OP= 。
∵PA丄x轴，∴PA∥MO.∴ 。
②设 Q(n，n2)，∵tan∠QOB=tan∠POM，∴ .∴ 。
∴Q( )。∴OQ= 。
∴当 OQ=OC 时，则C1(0， )，C2(0，- )。
当 OQ=CQ 时，则 C3(0，1)。
(2)①∵点P的横坐标为m，∴P(m，m2)。设 Q(n，n2)，
∵△APO∽△BOQ，∴ 。∴ ，得 。
∴Q( )。
②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P(m，m2)、Q( )代入，得：
，解得b=1。∴M(0，1)。
∵ ，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA。
∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA。
同理可证：EM∥OD。
又∵∠EOD=90°，∴四边形ODME是矩形。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定。
【分析】(1)①已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标;由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论。
②题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判断：
QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定;
QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定。
(2)①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标。
②在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证。
7. (2012浙江丽水、金华8分)如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y= (k>0)经过边OB的中点C和AE的中点D.已知等边△OAB的边长为4.
(1)求该双曲线所表示的函数解析式;
(2)求等边△AEF的边长.
【答案】解：(1) 过点C作CG⊥OA于点G，
∵点C是等边△OAB的边OB的中点，
∴OC=2，∠ AOB=60°。∴OG=1，CG= ，
∴点C的坐标是(1， )。由 ，得：k= 。
∴该双曲线所表示的函数解析式为 。
(2) 过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH= a。
∴点D的坐标为(4+a， a)。
∵点D是双曲线 上的点，
∴由xy= ，得 a (4+a)= ，即：a2+4a-1=0。
解得：a1= -2，a2=- -2(舍去)。∴AD=2AH=2 -4。
∴等边△AEF的边长是2AD=4 -8。.
【考点】反比例函数综合题，等边三角形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程。
【分析】(1)过点C作CG⊥OA于点G，根据等边三角形的性质求出OG、CG的长度，从而得到点C的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式列式计算即可得解。
(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，根据等边三角形的性质表示出DH的长度，然后表示出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到a的值，从而得解。
8. (2012浙江丽水、金华12分)在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB= .如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC= ，AC与y轴交于点E.【来源：全,品…中&高*考+网】
(1)求AC所在直线的函数解析式;
(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积;
(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.
【答案】解：(1) 在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE= ，∴点E(0， 。
设直线AC的函数解析式为y=kx+ ，有 ，解得：k= 。
∴直线AC的函数解析式为y= 。
(2) 在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE= ，
设EG=3t，OG=5t， ，∴ ，得t=2。
∴EG=6，OG=10。∴ /
(3) 存在。
①当点Q在AC上时，点Q即为点G，
如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，
由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，
由于点P1在直线AC上，当x=10时，
y=
∴点P1(10， )。
②当点Q在AB上时，如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，
则BH=QH=14-a，
在Rt△OQH中，a2+(14-a)2=100，
解得：a1=6，a2=8，∴Q(-6，8)或Q(-8，6)。
连接QF交OP2于点M.
当Q(-6，8)时，则点M(2，4);当Q(-8，6)时，则点M(1，3)。
设直线OP2的解析式为y=kx，则2k=4，k=2。∴y=2x。
解方程组 ，得 。
∴P2( );
当Q(-8，6)时，则点M(1，3).同理可求P2′( )。
综上所述，满足条件的P点坐标为
(10， )或( )或( )。
【考点】一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和应用。
【分析】(1)根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解。
(2)在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积。
(3)分两种情况讨论求解：①点Q在AC上;②点Q在AB上.求直线OP与直线AC的交点坐标即可。
9. (2012浙江宁波6分)如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A(﹣4，﹣2)和B(a，4).
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标;
(2)根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值?
【答案】解：(1)设反比例函数的解析式为 ，
∵反比例函数图象经过点A(﹣4，﹣2)，∴ ，解得k=8。
∴反比例函数的解析式为 。
∵B(a，4)在 的图象上，∴ ，解得a=2。
∴点B的坐标为B(2，4)。
(2)根据图象得，当x>2或﹣4
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数与一次函数的图象。
【分析】(1)利用待定系数法设反比例函数解析式为 ，把点A的坐标代入解析式，求解即可，把点B的坐标代入反比例函数解析式进行计算求出a的值，从而得到点B的坐标。
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