∴y=-2x+6.
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F,当y=3时,得x= , ∴F( ,3).…………9分
情况一:如图7,当0
则ON=AD=t,过点H作LK⊥x轴于点K,交EF于点L.
由△AHD∽△FHM,得 .即 .解得HK=2t.
∴S阴=S△MND-S△GNA-S△HAD= ×3×3- (3-t)2- t•2t=- t2+3t.…………11分
情况二:如图8,当
∴S阴=S△IQA-S△VQA= ×(3-t)×2(3-t)- (3-t)2= (3-t)2= t2-3t+ .
综上所述:s= ……………………………………………………12分
【答案】(1) y=-x2+2x+3, B(1,4);
(2) 证明:如图,过点B作BM⊥y于点M,则M (0,4).
在Rt△AOE中,OA=OE=3,
∴∠1=∠2=45°,AE= =3 .
在Rt△EMB中,EM=OM-OE=1=BM,
∴∠MEB=∠MBE=45°,BE= = .
∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°.
∴AB是△ABE外接圆的直径.………………………………………………………………3分
在Rt△ABE中,tan∠BAE= = =tan∠CBE,
∴∠BAE=∠CBE.
在Rt△ABE中,∠BAE+∠3=90°,∴∠CBE+∠3=90°.
∴∠CBA=90°,即CB⊥AB.
∴CB是△ABE外接圆的切线.
(3)P1(0,0),P2(9,0),P3(0,- ).
(4) s=
【点评】本题以平面直角坐标系为背景,综合考察了二次函数、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、三角形相似、勾股定理、待定系数法、分类讨论等知识,而且是中考的压轴题。知识点丰富全面,考查了学生综合运用知识、分类讨论思想来解决问题的能力。第1小题常规题,利用待定系数法求二次函数的解析式,难度较低;第2小题是利用勾股定理、锐角三角函数、90°的圆周角所对的弦是直径、等量代换等证明圆的切线,综合性较强,难度中等;第3小题,考察了分类讨论思想,在坐标轴上找点,构造寻找相似三角形,难度中等;第4小题,利用分类讨论思想、二次函数、和差法计算阴影部分面积,是压轴题的最后一题,将中下层面的学生拒之题外,难度较大.
23.(2012河南,23,11分)如图,在平面直角坐标系中,直线 与抛物线 交于A,B两点,点A在 轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不 与A,B重合),过点P作 轴的垂线交直线AB与点C,作PD⊥AB于点D
(1)求 及 的值
(2)设点P的横坐标为
①用含 的代数式表示线段PD的长,
并求出线段PD长的最大值;
②连接PB,线段PC把△PBD分成
两个三角形,是否存在适合的 值,
使这两个三角形的面积之比为9:10?
若存在,直接写出 值;若不存在,说明理由.
23.解析:(1)根据题意知,点A纵坐标为0,求出横坐标,点B纵坐标为3,也可求出横坐标,将A、B两点坐标代人求出 ,设直线 与 轴交于点 ,则 ,∵ ∥ 轴,∴ .能求∠ACP的正弦;(2)①在Rt△PCD中,用m表示出PC,结合上面求出的 值,表示出PD的长;②分别过点D,B作DF⊥PC,BG⊥PC,垂足分别为F,G,利用△PCD与△PCB公共边PC,分别用m表示出它们的高DF,BG,在Rt△PDF中, 又
∴
当 时.解得
当 时,解得
解:(1)由 ,得到 ∴
由 ,得到 ∴
∵ 经过 两点,
∴
设直线 与 轴交于点 ,则
∵ ∥ 轴,∴ .
∴
(2)由(1)可知抛物线的解析式为
∴
在Rt△PCD中,
∵ ∴当 时, 有最大值
②存在满足条件的 值,
点评:本题是一道函数与几何问题的综合题,先根据一次函数与抛物线的交点坐标求出函数的解析式,然后利用图象上面点的坐标来表示图形中线段的长,图形的面积等问题,再建立方程,或根据二次函数的性质求最值.
27.(2012江苏苏州,27,8分)如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2
(1)当x= 时,求弦PA、PB的长度;
(2)当x为何值时,PD•CD的值最大?最大值是多少?
分析: (1)由直线l与圆相切于点A,且AB为圆的直径,根据切线的性质得到AB垂直于直线l,又PC垂直于直线l,根据垂直于同一条直线的两直线平行,得到AB与PC平行,根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形PCA与三角形PAB相似,由相似得比例,将PC及直径AB的长代入求出PA的长,在直角三角形PAB中,由AB及PA的长,利用勾股定理即可求出PB的长;
(2)过O作OE垂直于PD,与PD交于点E,由垂径定理得到E为PD的中点,再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形,根据矩形的对边相等,可得出EC=OA=2,用PC﹣EC的长表示出PE,根据PD=2PE表示出PD,再由PC﹣PD表示出CD,代入所求的式子中,整理后得到关于x的二次函数,配方后根据自变量x的范围,利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值.
解答: 解:(1)∵⊙O与直线l相切于点A,且AB为⊙O的直径,
∴AB⊥l,又∵PC⊥l,
∴AB∥PC,
∴∠CPA=∠PAB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠APB=90°,又PC⊥l,
∴∠PCA=∠APB=90°,
∴△PCA∽△APB,
∴ = ,即PA2=PC•AB,
∵PC= ,AB=4,
∴PA= = ,
∴Rt△APB中,AB=4,PA= ,
由勾股定理得:PB= = ;
(2)过O作OE⊥PD,垂足为E,
∵PD是⊙O的弦,OE⊥PD,
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