当点B运动到点C时,t=1.当
设D′E′交y轴于点G,过G作GH⊥B′C′于H.
在Rt△BOC中,BC=
∴GH= ,∴CH= GH=
∵CC′= t,∴HC′= t- ,∴GD′= t-
∴S梯形CC′D′G= ( t- + t) =5t- ……………………………(7分)
当点E运动到y轴上时,t= .
当1
设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N
∵CC′= t,B′C′= ,
∴CB′= t- ,∴B′N=2CB′= t-
∵B′E′= ,∴E′N=B′E′-B′N= - t
∴E′M= E′N= ( - t)
∴S△MNE′= ( - t)• ( - t)=5t2-15t+
∴S五边形B′C′D′MN=S正方形B′C′D′E′-S△MNE′= (5t2-15t+ )=-5t2+15t-
综上所述,S与x的函数关系式为:
当0
当
当1
②当点E运动到点E′时,运动停止.如下图所示
∵∠CB′E′=∠BOC=90°,∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C
∴
∵OB=2,B′E′=BC=
∴
∴CE′=
∴OE′=OC+CE′=1+ =
∴E′(0, )…………………………………………………………………..(10分)
由点E(-3,2)运动到点E′(0, ),可知整条抛物线向右平移了3个单位,向上平移了 个单位.
∵ =
∴原抛物线顶点坐标为( , )……………………………………………(11分)
∴运动停止时,抛物线的顶点坐标为( , )…………………………(12分)
点评:本题以直角坐标系内的正方形为基本图形,设计出正方形沿着某条直线平移的运动型问题,考查了三角形全等、三角形相似的判定及其性质,图形的平移及其性质等知识点,考察了待定系数法、数形结合方法,分类思想方法,具体有较强的综合性和一定的区分度。
28.(2012江苏苏州,28,12分)如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合,在移动过程中,边AD始终与边FG重合,连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH的边FG,GH的长分别为4cm,3cm,设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中0≤x≤2.5.
(1)试求出y关于x的函数关系式,并求当y=3时相应x的值;
(2)记△DGP的面积为S1,△CDG的面积为S2.试说明S1﹣S2是常数;
(3)当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.
分析: (1)根据题意表示出AG、GD的长度,再由△GCD∽△APG,利用对应边成比例可解出x的值.
(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2,然后作差即可.
(3)延长PD交AC于点Q,然后判断△DGP是等腰直角三角形,从而结合x的范围得出x的值,在Rt△DGP中,解直角三角形可得出PD的长度.
解答: 解:(1)∵CG∥AP,
∴△GCD∽△APG,
∴ = ,
∵GF=4,CD=DA=1,AF=x,
∴GD=3﹣x,AG=4﹣x,
∴ = ,即y= ,
∴y关于x的函数关系式为y= ,
当y=3时, =3,解得x=2.5,
经检验的x=2.5是分式方程的根.
故x的值为2.5;
(2)∵S1= GP•GD= • •(3﹣x)= ,
S2= GD•CD= (3﹣x)1= ,
∴S1﹣S2= ﹣ = 即为常数;
(3)延长PD交AC于点Q.
∵正方形ABCD中,AC为对角线,
∴∠CAD=45°,
∵PQ⊥AC,
∴∠ADQ=45°,
∴∠GDP=∠ADQ=45°.
∴△DGP是等腰直角三角形,则GD=GP,
∴3﹣x= ,
化简得:x2﹣5x+5=0.
解得:x= ,
∵0≤x≤2.5,
∴x= ,
在Rt△DGP中,PD= = (3﹣x)= .
点评: 此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识,解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度,然后运用所学知识进行求解.
23(2012深圳市 23 ,19分)如图9—①,平在面直角从标系中,直线 的位置随 的不同取值而变化。
(1)已知⊙M的圆心坐标为(4,2),半径为2
当 时,直线 经过圆心M;
当 时,直线 与 ⊙M相切;
(2)若把⊙M换成矩形 ,如图9—②,其三个顶点的坐标分别为: 。设直线 扫过矩形 的面积为 ,当 由小到大变化时,请求出 与 的函数关系式。
【解析】:(1)若直线经过圆心,则点M在直线 上,将M(4,2)代入直线解析式中,即可求出 的值;(2)当直线与⊙M相切时,构造直角三角形,得用相似或解直角三角形的方法,可求 的值,注意分类。(3)直线在运动中,扫过知形之前,扫过的面积为0,直线扫过矩形时,扫过的图形分别为三角形,直角梯形,五边形、矩形,故可分5种情况,求出 与 的函数关系式,是典型的分段函数。
【解答】:(1) ;
如图9—3,易求 ,则 ,又 ∥
则 ,
由于 ,
则 ,
设 则 ,有 ,
, ,
, 故 ,
代入 ,求得 ,类似可求
(2)如图9—4 ①当 时,直线不扫过知形,此时
② 时,直线扫过矩形的面积为三角形的面积,由于直线与 轴的交点为意 ,故
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