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2017年部分地区中考数学几何综合型问题试题(附答案)

[05-18 21:30:48]   来源：http://www.kmf8.com  初三数学试卷   阅读：8132次
概要： ∴PE=ED，又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，∴CD=PC﹣PD=x﹣2(x﹣2)=4﹣x，∴PD•CD=2(x﹣2)•(4﹣x)=﹣2x2+12x﹣16=﹣2(x﹣3)2+2，∵2∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2.点评： 此题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.(2012•哈尔滨，题号28分值 10) 28.(本题10分)已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN.(1)如图l，求证：PC=AN;(2)如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC
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∴PE=ED，

又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，

∴四边形OACE为矩形，

∴CE=OA=2，又PC=x，

∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，

∴CD=PC﹣PD=x﹣2(x﹣2)=4﹣x，

∴PD•CD=2(x﹣2)•(4﹣x)=﹣2x2+12x﹣16=﹣2(x﹣3)2+2，

∵2

∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2.

点评： 此题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

(2012•哈尔滨，题号28分值 10) 28.(本题10分)

已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN.

(1)如图l，求证：PC=AN;

(2)如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC =3，CK：CF=2：3，求D Q的长.

【解析】本题是对三角形全等、相似、勾股定理、三角函数的综合考查.

(1)先证明△AQP≌△MNA，得AN=PQ，PA=AM，再利用等角的余角相等证∠ABP=∠CBP，结合角平分线性质说明PQ=PC，从而PQ=AN得证;

(2)NP=2，PC=3，结合(1)中结论易知AN=3，AP=AM=5，由勾股定理可计算MN=AQ=5

通过△PNM∽△PBC可得BC=6，则BP可求;

设CK=2m,CF=3m,通过△PNE∽△PKC， NE、EM可用m表示，由sin∠PBC= sin∠EMH= ，可将EH、FH用m表示;

作ER垂直BF于R，有tan∠BPC=tan∠EFR=2可求RF值，在RT△REP中勾股定理计算EF，可求m值，进而CK、BK可计算;

计算tan∠PKC= tan∠BDK=1，tan∠ABC= ，作KG垂直BA于G，设KG=4n,则BG=3n,BK=5n=3,n值可得解，BD=7n，DQ=AB-BD-AQ可解.

【答案】证明：(1)∵MA⊥AM，MN⊥AP，∠BAM=∠ANM=90°，∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN. ∵∠PQA=∠ANM=90°，AQ=MN，∴△APQ≌△MNA，∴AN=PQ，AM=AP，∴∠AMN=∠APN，又因为∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°。∴∠ABM=∠PBC，又PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC，∴AN=PC;

(2)∵NP=2，PC=5，∴由(1)知PA=NC=5，AC=8，∴AM=AP=5，∴AQ=MN=4.

设CK=2m,CF=3m.∵MN∥BF，∴△PNM∽△PBC，△PNE∽△PKC，

∴ ，∴BC=6，NE= ，∴BF=6+3m,ME=4- ,BP=3 ,

∴sin∠PBC= sin∠EMH= = ,∵EF⊥PM，∴FH=BF sin∠PBC= (6+3m)，EH=EM sin∠EMH= (4- ).

作ER垂直BF于R，则ER=NC=5.

∵∠RFE+∠REF=∠RFE+∠PBC=90°，∴∠REF=∠PBC，∴tan∠BPC=tan∠EFR= =2，∴RF= ，∴EF= ，∴m= ,∴CK=3，BK=3.

∵∠PKC+∠DKE=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC.

∵tan∠PKC=1，∴tan∠BDK=1，作KG⊥BA于G，∵tan∠BDK=1，tan∠ABC= ，

∴设KG=4n,则BG=3n,GD=4n,∴BK=5n=3, n= ，∴BD=7n= .

∵AB=10，AQ=4，∴BQ=6，∴DQ=BQ-BD= .

【点评】本题第二问的难点在于如何巧妙添加辅助线、如何反复利用相似、同角(等角)的三角函数表示其他相关线段并列方程求解.

由MN∥BF推到三角形相似、结合CK：CF=2:3设定参数表示其他线段是本题的突破口，同角(等角)的三角函数值相等、勾股定理是解答本题的重要工具.

解答此类题目的宗旨是根据已知条件表示能表示的所有线段，寻找各线段之间的关系，建立起联系，逐步推进达到求解的目的.

23.(2012四川达州，23，12分)(12分)如图1，在直角坐标系中，已知点A(0，2)、点B(-2，0)，过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE.

(1)填空：点D的坐标为( )，点E的坐标为( ).

(2)若抛物线 经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式.

(3)若正方形和抛物线均以每秒 个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在 轴上时，正方形和抛物线均停止运动.

①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为 ，求 关于平移时间 (秒)的函数关系式，并写出相应自变量 的取值范围.

②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.

解析：对于(1)，可知OC=1，过D作DF垂直y轴，则△OBC≌△FCD，则FC=OB=2，DF=OC=1，故点D坐标为(-1，3)，同理可得E点坐标为(-3，2);对于(2)，可用待定系数法，求出抛物线的解析式;对于(3)，可考虑当点D、B、E运动到y轴上时是三种情况，在这三个时间段内分别讨论，能做到不混淆、不重、不漏;求抛物线的顶点坐标，可以先求出点E平移到y轴后的坐标，从而可确定抛物线是如何平移，即可求出抛物线平移后的顶点坐标。

答案：(1)D(-1，3)、E(-3，2)(2分)

(2)抛物线经过(0，2)、(-1，3)、(-3，2)，则

……………………………………………………………….(3分)

解得

∴ ……………………………………………………….(4分)

(3)①当点D运动到y轴上时，t= .

当0

设D′C′交y轴于点F

∵tan∠BCO= =2,又∵∠BCO=∠FCC′

∴tan∠FCC′=2, 即 =2

∵CC′= t,∴FC′=2 t.

∴S△CC′F= CC′•FC′= t× t=5 t2…………………………………(5分)

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