③ 当 时，直线扫过矩形的面积为
直角梯形的面积，此时与DC交点为
④ 当 时，直线扫地矩形的面积为五边形，
此时直线与DC的交点为 则
⑤ 当 时，直线扫过矩形的面积即为矩形的面积，故
综上，
【点评】：本题主要考查分段函数和分类计论思想。分类时要做到不重不漏，各种情况要仔细分析，计算量大。各种情况根据图形的特点，用面积公式求解。
23.(2012广东汕头，23，12分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合.
(1)求证：△ABG≌△C′DG;
(2)求tan∠ABG的值;
(3)求EF的长.
分析： (1)根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论;
(2)由(1)可知GD=GB，故AG+ GB=AD，设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出tan∠ABG的值;
(3)由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD= AD=4，再根据tan∠ABG即可得 出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结论.
解答： (1)证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，
∴∠ABG=∠ADE，
在：△ABG≌△C′DG中，
∵ ，
∴△ABG≌△C′DG;
(2)解：∵由(1)可知△ABG≌△C′DG，
∴GD=GB，
∴AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8﹣x，
在Rt△ABG中，
∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=(8﹣x)2，解得x= ，
∴tan∠ABG= = = ;
(3)解：∵△AEF是△DEF翻折而成，
∴EF垂直平分AD，
∴HD= AD=4，
∴tan∠ABG=tan∠ADE= ，
∴EH=HD× =4× = ，
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，
∴HF是△ABD的中位线，
∴HF= AB= ×6=3，
∴EF=EH+HF= +3= .
点评： 本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质、矩形的性质及解直角三角形，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状 和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.
25.(2012山西，25，12分)问题情境：将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由.
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线.(依据1)
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON.(依据2)
反思交流：
(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：
依据2：
(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.
拓展延伸：
(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程.
【解析】(1)解：故答案为：等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)，角平分线上的点到角的两边距离相等.
(2)证明：∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB.
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵在△OMA和△ONB中
，
∴△OMA≌△ONB(AAS)，
∴OM=ON.
(3)解：OM=ON，OM⊥ON.理由如下：
连接CO，则CO是AB边上的中线.
∵∠ACB=90°，
∴OC= AB=OB，
又∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠2=∠B，
∵BN⊥DE，
∴∠BND=90°，
又∵∠B=45°，
∴∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴DN=NB.
∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°.又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°
∴四边形DMCN是矩形，
∴DN=MC，
∴MC=NB，
∴△MOC≌△NOB(SAS)，
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，
即∠MON=∠BOC=90°，
∴OM⊥ON.
【答案】(1)解：故答案为：等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)，角平分线上的点到角的两边距离相等.
(2)证明过程省略.
(3)解：OM=ON，OM⊥ON.理由见解析.
【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质等初数中常见的几何知识点.对考生的综合能力有一定的要求，故是选拔考生较好的能力题.难度较大.
23.(本题满分10分)
(2012山东东营，23，10分)(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF;
(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积.
【解析】(1)利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF(SAS)，即CE=CF.(2)延长AD至F，使DF=BE.连接CF.借助(1)的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因为CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD.(3)过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).再设AB=x，利用(1)、(2)的结论，在Rt△AED中利用勾股定理可求出x.
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