【答案】解：(1)当m=3时，y=-x2+6x。
令y=0得-x2+6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A(6，0)。
当x=1时，y=5。∴B(1，5)。
∵抛物线y=-x2+6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，∴BC=4。
(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)
由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。
又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。
∴ 。
∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m>1，且B，C关于对称轴对称，
∴BC=2(m-1)。
∵B(1，2m-1)，P(1，m)，∴BP=m-1。
又∵A(2m，0)，C(2m-1，2m-1)，∴H(2m-1，0)。
∴AH=1，CH=2m-1，
∴ ，解得m= 。
(3)存在。∵B，C不重合，∴m≠1。
(I)当m>1时，BC=2(m-1)，PM=m，BP=m-1，
(i)若点E在x轴上(如图1)，
∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。
∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2(m-1)=m，解得m=2。
此时点E的坐标是(2，0)。
(ii)若点E在y轴上(如图2)，过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，即m-1=1，解得，m=2。
此时点E的坐标是(0，4)。
(II)当0
(i)若点E在x轴上(如图3)，
易证△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，即2(1-m)=m，解得，m= 。
此时点E的坐标是( ，0)。
(ii)若点E在y轴上(如图4)，
过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，即1-m=1，∴m=0(舍去)。
综上所述，当m=2时，点E的坐标是(0，2)或(0，4)，
当m= 时，点E的坐标是( ，0)。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。
(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明
△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到： ，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值。
(3)存在。本题要分当m>1时，BC=2(m-1)，PM=m，BP=m-1和当0
19. (2012浙江义乌10分)在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.
(1)如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数;
(2)如图2，连接AA1，CC1.若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积;
(3)如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值.
【答案】解：(1)∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，
∴∠CC1B=∠C1CB=45°。
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°。
(2)∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，
∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1。
∴ ，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1。∴∠ABA1=∠CBC1。
∴△ABA1∽△CBC1。∴ 。
∵S△ABA1=4，∴S△CBC1= 。
(3)过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上。
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°= 。
①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小。
最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE= ﹣2。
②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大。
最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7。
【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数。
(2)由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积。
(3)由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小;②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值。
20. (2012浙江义乌12分)如图1，已知直线y=kx与抛物线 交于点A(3，6).
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M(点M、O不重合)，交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是，求出这个定值;如果不是，说明理由;
(3)如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
【答案】解：(1)把点A(3，6)代入y=kx 得;6=3k，即k=2。
∴y=2x。
∴ 。
(2)线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：
如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H.
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
此时 。
②当QH与QM不重合时，
∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴∠MQH=∠GQN。
又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN。∴ 。
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 。
∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。
(3)如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R。
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