【分析】(1)根据题意得：△ABC∽△AB′C′，
∴S△AB′C′：S△ABC= ，∠B=∠B′。
∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°。
(2)由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值。
(3)由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′)，继而求得答案。
6. (2012浙江嘉兴、舟山14分)在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点(点在第一象限内).连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ，交y轴于点M.作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m.
(1)如图1，当m= 时，
①求线段OP的长和tan∠POM的值;
②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标;
(2)如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E.
①用含m的代数式表示点Q的坐标;
②求证：四边形ODME是矩形.
【答案】解：(1)①把x= 代入 y=x2，得 y=2，∴P( ，2)，∴OP= 。
∵PA丄x轴，∴PA∥MO.∴ 。
②设 Q(n，n2)，∵tan∠QOB=tan∠POM，∴ .∴ 。
∴Q( )。∴OQ= 。
∴当 OQ=OC 时，则C1(0， )，C2(0，- )。
当 OQ=CQ 时，则 C3(0，1)。
(2)①∵点P的横坐标为m，∴P(m，m2)。设 Q(n，n2)，
∵△APO∽△BOQ，∴ 。∴ ，得 。
∴Q( )。
②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P(m，m2)、Q( )代入，得：
，解得b=1。∴M(0，1)。
∵ ，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA。
∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA。
同理可证：EM∥OD。
又∵∠EOD=90°，∴四边形ODME是矩形。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定。
【分析】(1)①已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标;由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论。
②题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判断：
QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定;
QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定。
(2)①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标。
②在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证。
7. (2012浙江丽水、金华10分)在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC.
(1)如图1，当点A的横坐标为 时，矩形AOBC是正方形;
(2)如图2，当点A的横坐标为 时，
①求点B的坐标;
②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2，试判断抛物线y=-x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点?如果可以，说出变换的过程;如果不可以，请说明理由.
【答案】解：(1) -1。
(2) ①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
当x=- 时，y=(- )2= ，
即OE= ，AE= 。
∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°，21世
∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠BOF。
又∵∠AEO=∠BFO=90°，∴△AEO∽△OFB。
∴ 。
设OF=t，则BF=2t，∴t2=2t，解得：t1=0(舍去)，t2=2。
∴点B(2，4)。
②过点C作CG⊥BF于点G，
∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠EOA=∠FBO，
∴∠EAO=∠CBG。
在△AEO和△BGC中，∠AEO=∠G=900，∠EAO=∠CBG,AO=BC，
∴△AEO≌△BGC(AAS)。∴CG=OE= ，BG=AE= 。
∴xc=2- ，yc=4+ 。∴点C( )。
设过A(- ， )、B(2，4)两点的抛物线解析式为y=-x2+bx+c，由题意得，
，得 。
∴经过A、B两点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2。
∵当x= 时，y=-( )2+3× +2= ，∴点C也在此抛物线上。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2=-(x- )2+ 。
平移方案：先将抛物线y=-x2向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到抛物线
y=-(x- )2+ 。
【考点】二次函数综合题，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，全等和相似三角形的判定和性质，平移的性质。
【分析】(1)如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵矩形AOBC是正方形，∴∠AOC=45°。
∴∠AOD=90°-45°=45°。
∴△AOD是等腰直角三角形。
设点A的坐标为(-a，a)(a≠0)，
则(-a)2=a，
解得a1=-1，a2=0(舍去)，∴点A的坐标-a=-1。
(2) ①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后证明△AEO和△OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解。
②过点C作CG⊥BF于点G，可以证明△AEO和△BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=OE，BG=AE，然后求出点C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式，把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C，如果经过点C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可。
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