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中考数学与圆有关的位置关系试题归类

[10-20 00:48:49]   来源：http://www.kmf8.com  初三数学试卷   阅读：8574次
概要： ∴△PAF∽△PCO …………………………………………………………………..(4分)∴∵CO=OA= ,AF=1∴PC= PA …………………………………………………………………..(5分)设PA= ，则PC=在Rt△PCO中，
中考数学与圆有关的位置关系试题归类,标签：初三数学试卷分析,http://www.kmf8.com

∴△PAF∽△PCO …………………………………………………………………..(4分)

∴

∵CO=OA= ,AF=1

∴PC= PA …………………………………………………………………..(5分)

设PA= ，则PC=

在Rt△PCO中，由勾股定理得

 …………………………………………..(6分)

解得：

∴PC ……………………………………………………………………….(7分)

点评：本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质、勾股定理的运用等知识点，考查了学生作辅助线解决问题及计算能力。

22.(2012，湖北孝感，22，10分)如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.

(1)求证：CD是⊙O的切线;(5分)

(2)若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R.(5分)

【解析】(1)因不知道切点，则过圆心向CD作垂线，证此垂线段等于半径即可;(2)求圆的半径构可通过梯形ABCD做辅助线来构造直角三角形和矩形来解决.

【答案】证明：过O作OE⊥CD于点F，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，

又∵DO平分∠ADC，∴OE=OA，

又∵OA为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线.

说明：通过证明△ODE∽△ODA(AAS)得到OE=OA，则CD是⊙O的切线，给5分.

(2)解：过D点作DF⊥BC与点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B;∴AD⊥AB，AB⊥BC，

∴四边形ABFD是矩形.∴AD=BF，AB=DF，

又∵AD=4，BC=9，∴FC=9-4=5;

又∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，E，∴DA=DE，CB=CE;

∴DC=AD+BC=4+9=13;在Rt△DFC中，DC2=DF2+FC2，

∴ ，

∴AB=12，∴⊙O的半径R是6.

【点评】此题考查了切线的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用.在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直;若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”.在梯形问题中解题的关键是正确的作辅助线构造直角三角形和矩形.

16. (2012四川宜宾，16，3分)如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F,过点D的切线交EC的延长线于点G，连结AD,分别交CF、BC于点P、Q,连结AC。给出下列结论：①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心;④AP•AD=CQ•CB.其中正确的是 (写出所有真确结论的序号)。

【解析】

连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确;由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为 的中点，得到两条弧相等，再由C为 的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确;利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确.

解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误;

连接BD，如图所示：

∵GD为圆O的切线，

∴∠GDP=∠ABD，

又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，

∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，

∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，

∴△APF∽△ABD，

∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，

∴∠GDP=∠GPD，

∴GP=GD，选项②正确;

∵直径AB⊥CE，

∴A为 的中点，即 = ，

又C为 的中点，∴ = ，

∴ = ，

∴∠CAP=∠ACP，

∴AP=CP，

又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，

∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确;

连接CD，如图所示：

∵ = ，

∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，

∴△ACQ∽△BCA，

∴ = ，即AC2=CQ•CB，

∵ = ，

∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，

∴△ACP∽△ADC，

∴ = ，即AC2=AP•AD，

∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，

则正确的选项序号有②③④.

故答案为：②③④

【答案】②③④

【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

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