(1)求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切;
(2)若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长.
解析:(1)过AB的中点O作OE⊥CD于E.证明OE的长等于半径即可.(2)证明∠COD=900，运用勾股定理求值..
答案:证明： 过AB的中点O作OE⊥CD于E.
S梯形ABCD= (AD+BC) •AB=(AD+BC) •OA
=2( AD•OA+ BC•OB)
=2(S⊿OAD +S⊿OBC)
由S梯形ABCD =S⊿OBC+ S⊿OAD+ S⊿OCD
∴S⊿OBC+ S⊿OAD=S⊿OCD
∴ AD•OA+ BC•OA= CD•OE
∴ (AD+BC) •OA= CD•OE又AD+BC=CD
∴OA=OE,∴E点在以AB为直径的⊙O上，又OE⊥CD
∴CD是⊙O的切线
即：CD与⊙O相切 …………5分
(2)∵DA、DE均为⊙O的切线，∴DA=DE，则∠1=∠2，同理∠3=∠4. ∴∠COD=900.
∴CD= …………5分
点评:本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明AD+BC=CD很巧妙.难度较大.
(2012四川成都，27，10分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G，连接AG交CD于K.
(1)求证：KE=GE;
(2)若 =KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由;
(3) 在(2)的条件下，若sinE= ，AK= ，求FG的长.
解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明∠EGK=∠EKG，然后根据等角对等边，即可证明第(1)小题;对于第(2)小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系;对于第(3)小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG的长。
答案：(1)如下图，连接OG，
∵EG是⊙O的切线
∴OG⊥GE
∴∠OGK+∠EGK=90°
∵CD⊥AB
∴∠OAG+∠AKH=90°
∵OG=OA
∴∠OGK=∠OAG
∴∠EGK=∠AKH=∠EKG
∴KE=GE;
(2)AC∥EF
理由如下：
∵ =KD•GE，GE=KE
∴
∴△KGD∽△KGE
∴∠KGD=∠E
∠KGD=∠C
∴∠E=∠C
∴AC∥EF
(3)∵在(2)的条件下，
∴AC∥EF
∴∠CAF=∠F，∠E=∠C
∵sinE=
∴sinC= ,sinF= ,tanE=tanC=
连接BG，过G作GN⊥AB于N，交⊙O于Q
则弧BQ=弧BG
∴∠BGN=∠BAG
设AH=3k，则CH=4k
于是BH= ，OG=
∵EG是切线，CD⊥AB
∴∠OGF=90°
∴∠FOG+∠F=∠E+∠F
∴∠FOG=∠E
∴NG=OGsin∠FOG= =
∴BN=OB-ON=OG-OGcos∠FOG=
∴BG=
∴cos∠BAG=cos∠BGN=
∴
∴FG=
点评：本题的第(3)小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题;但是，前两个小题比较基础，同学们应争取做对。
27.((2012江苏泰州市，27，本题满分12分)如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由;
(2)若PC=2 ，求⊙O的半径和线段PB的长;
(3)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.
(第27题图) (备用图)
【解析】(1)由于AB是⊙O的切线，故连半径，利用切线性质，圆半径相等，对顶角相等，余角性质，推出AB,AC两底角相等;
(2)设圆半径为r，利用勾股定理列方程求半径，再利用三角形相似求PB
(3)先作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，再利用勾股定理计算即可
【答案】(1)AB=AC; 连接OB，则OB⊥AB，所以∠CBA+∠OBP=900,又OP=OB，所以∠OBP=∠OPB，又∠OPB=∠CPA，又OA⊥l于点A，所以∠PCA+∠CPA=900，故∠PCA=∠CBA，所以AB=AC
(2)设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r;∴AB2=OA2-OB2=52-r2,AC2=PC2-AP2=(2 )2-(5-r)2，从而建立等量关系，r=3，∵AB=AC，∴AB2= AC2，利用相似，求出PB=4
(3)作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，则可推出OD= = ;由题意，圆O要与直线MN有交点，所以 ;又因为圆O与直线l相离;所以r<5;综上， .
【点评】本题主要考查了切线的性质、等角对等边、三角形相似的判定及其性质的运用以及勾股定理的应用等知识,知识点丰富;考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力，考查了圆的相关知识，圆的切线是圆中的重点，也是考试常考的部分;求线段的长常用勾股定理或相似等知识解答.
24. (2012山东省聊城，24，10分)如图，⊙O是△ABC外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是 弧上一动点，过点P作BC的平行线交AB延长线与点D.
(1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线?说明理由.
(2)当DP是⊙O的切线时，求DP的长.
解析：(1)根据PD//BC，可以天加辅助线由切线判定定理解题;(2)根据勾股定理与垂径定理求出⊙O半径r，再结合△ABE∽△ADP即可.
解：(1)当P是BC中点时，DP是⊙O的切线.理由如下：
∵AB=AC，∴
又
∴PA是⊙O的直径.
又AB=AC，∴PA⊥BC.
∵DP//BC，∴PD⊥AP.
∴DP是⊙O的切线.
(2)连接OB，设PA交BC于点E.
由垂径定理得，BE= .
在Rt△ABE中，据勾股定理， .
设⊙O的半径为r，则OE=8-r.
在Rt△OBE中， .
解得r= .
∵DP//BC，∴∠ABE=∠D.
又∵∠1=∠1，∴△ABE≌△ADP.
，即 ，
∴DP=
点评：本题是一道综合试题，以圆为载体考查了圆的基本知识、圆的切线、平行线、勾股定理、相似三角形、方程思想等，解题要冷静、细心、充分拓展数学核心知识，达到灵活解决问题.
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