【点评】：本题主要考查圆和圆的位置与两圆半径R、r、圆心距d的关系.①当d>R+r时，两圆外离;②当d=R+r时，两圆外切;③当R-r
31.3 正多边形和圆
7. (2012安徽，7，4分)为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边
形与其内部小正方形的边长都为 ，则阴影部分的面积为( )
A.2 B. 3 C. 4 D.5
7. 解析：图案中间的阴影部分是正方形，面积是a2，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算.
解答：解： 故选A.
点评：本题考查了正多边形的性质，关键要找出正八边形和原来正方形的关系，尽量用所给数据来计算.
7.(2012浙江省温州市，7，4分)已知 与 外切， 的半径为5cm，则 的半径是( )
A. 13cm B. 8cm C. 6cm D.3cm
【解析】两圆外切时，d=R+r，由此计算，选D.
【答案】D
【点评】本题考查两圆相外切时与半径的关系，关键是数形结合，属于容易题。
(2011山东省潍坊市，题号18，分值9)18.如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆上，顶点A在圆外，AB、AC
分别交圆于E、D两点，连接EC、BD
(1)求证：△ABD∽△ACE;
(2)若△ABC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状.
考点：三角形相似的
解答：(1)证明：因为弧ED所对的圆周角相等，
所以∠EBD=∠ECD ………………. 2分
又因为∠A=∠A
所以△ABD∽△ACE……………….4分
(2)方法1:因为S△ABC=S△BDC，S△ACE= S△ABC-S△BEC,S△ABD= S△ABC-S△BCD
所以: S△ACE= S△ABD，
又根据(1)知，△ABD∽△ACE
所以对应边的比为1
所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
方法2：因为△BEC与△BCD的面积相等，有公共底边BC，所以高相等，
即E、D两点到BC的距离相等，所以ED ∥ BC
所以∠BCE=∠CED
又因为∠CED=∠CBD
所以∠BCE=∠CBD
因为△ABD∽△ACE，所以∠ABD =∠ACE，
所以∠ABC =∠ACB
即△ABC为等腰三角形
点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，综合性较强。
25.(2012湖北襄阳，25，10分)如图11，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.
(1)求证：直线PA为⊙O的切线;
(2)试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明;
(3)若BC=6，tan∠F= ，求cos∠ACB的值和线段PE的长.
【解析】(1)要证PA是⊙O的切线，只要连接OB，再证∠PAO=∠PBO=90°即可.(2)OD，OP分别是Rt△OAD，Rt△OPA的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA2=OD•OP，再将EF=2OA代入即可得出EF，OD，OP之间的等量关系.(3)利用tan∠F= ，得出AD，OD之间的关系，据此设未知数后，根据AD=BD，OD= BC=3，AO=OC=OF=FD-OF，将AB，AC也表达成含未知数的代数式，再在Rt△ABC中运用勾股定理构建方程求解.
【答案】解：(1)证明：如下图，连接OB，
∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°.
∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB.
又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO.
∴∠PAO=∠PBO=90°.∴直线PA为⊙O的切线.
(2)EF2=4OD•OP.
证明：∵∠PAO=∠PDA=90°，
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°.
∴∠OAD=∠OPA.∴△OAD∽△OPA.∴ = ，即OA2=OD•OP.
又∵EF=2OA，∴EF2=4OD•OP.
(3)∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD= BC=3.
设AD=x，∵tan∠F= ，∴FD=2x，OA=OF=2x-3.
在Rt△AOD中，由勾股定理 ，得(2x-3)2=x2+32.
解之得，x1=4，x2=0(不合题意，舍去).
AD=4，OA=2x-3=5.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°.
而AC=2OA=10，BC=6，
∴cos∠ACB= = .
∵OA2=OD•OP，
∴3(PE+5)=25.
∴PE= .
【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性很强，并富有探究性.要证某线是圆的切线，若已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可;若此线与圆的切点未知，可以过圆心作这条直线的垂线段(即为垂直)，再证半径即可.另外，与圆有关的探究、计算问题，多与相似三角形和勾股定理有关，上来从这方面着手分析思考，有利于思路的快速打开.
第三十一章 与圆有关的位置关系
31.1 直线与圆的位置关系
31.2圆与圆的位置关系
31.3 正多边形和圆
9.(2012贵州省毕节市，9，3分)第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，右图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，
不存在的位置关系是( )
A.外离 B.内切
C.外切 D.相交
解析：根据两圆的位置关系易得到它们的位置关系有外切、外离、相交.
解答：解：观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含，并且有的两个圆只有一个公共点，即外切;有的两个圆没有公共点，即外离;有的两个圆有两个公共点，即相交.故选B.
点评：本题考查了圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为R，r，圆心距为d，若d>R+r，两圆外离;若d=R+r，两圆外切;若R-r
(2012北海,10，3分)10.已知两圆的半径分别是3和4，圆心距的长为1，则两圆的位置关系为： ( )
A.外离 B.相交 C.内切 D.外切
【解析】判断两圆的位置关系，主要要弄明白d与R、r之间的关系：当 时，两圆外离;当 时，两圆外切;当 时，两圆相交;当 时，两圆内切;当 时，两圆内含。1=4-3 。
【答案】C
【点评】本题考查的圆与圆的位置关系，关键是把图形的位置关系转化为d与R、r之间的数量关系，数形结合。属简单题型。
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