E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF∥CD，连接BC.
(1)已知 ， ，求弦CD的长;
(2)连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置?试说明理由.
【解析】(1)由BF与⊙O相切，可得BF⊥AB;又由BF∥CD，易得CD⊥AB，由垂径定理证得CE=DE，后连接CO，设OE=x，则BE=9-x，由勾股定理求得OE的长，继而求得CD的长;(2)由四边形BDCF为平行四边形，可得CD=BF，又由△AEC∽△ABF，证得点E是AB的中点.
【答案】∵BF与⊙O相切，
∴ . 1分
而BF∥CD，∴ .
又∵AB是直径，∴ . 2分
连接CO，设 ，则 .
由勾股定理可知： ，
即 ， . 4分
因此 . 5分
(2)点E位于AB的中点.理由：∵四边形BDCF为平行四边形，
∴ .
而 ， ∴ . 7分
∵BF∥CD， ∴△AEC∽△ABF. 8分
∴ . ∴点E是AB的中点. 9分
【点评】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理以及勾股定理等知识.此题难度适中，注意运用数形结合思想与方程思想.
23.(本题满分8分)
(2012陕西23，8分)如图， 分别与 相切于点 ，点 在 上，且 ， ，垂足为 .
(1)求证： ;
(2)若 的半径 ， ，求 的长.
【解析】(1)由切线的性质和条件可证得四边形ANMO是矩形，得证.
(2)连接OB又(1)可证 ，设 ，则由切线长定理得 ，在 中列方程解得.
【答案】解：(1)证明：如图，连接 ，则 .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴四边形 是矩形.
∴ .
(2)连接 ，则 .
∵ ， ， ，
∴ ， .
∴ .
∴ .
设 ，则 .
在 中，有 .
∴ .即 .
【点评】本题综合考查了切线的性质、全都三角形的判定和性质、矩形的判定和性质以及勾股定理等知识，但解决问题的关键还是连接过切点的半径.难度稍大.
22.(2012贵州黔西南州，22，10分)如图8，△ABC内接于⊙O，AB=8，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧⌒BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形?并加以证明.
【解析】本题考查圆的基本性质，以及全等三角形的应用.本题的关键是运用△PBD≌△PCA解决问题.
【答案】解：当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形.………………(2分)
证明：∵P是优弧⌒BAC的中点.
∴⌒PB=⌒PC，即PB=PC.…………(4分)
又∵BD=AC=4，∠PBD=∠PCA，…………(5分)
∴△PBD≌△PCA，…………(6分)
∴PA=PD.…………(8分)
∴△PAD是以AD为底边的等腰三角形…………(10分)
【点评】解决这样的问题，可以用逆推的方法，先找出结论成立时所需要的条件，然后再运用这些条件进行证明.
20. (本题满分9分)(2012山东东营，20，9分)如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，
(1)求证：OD∥BE;
(2)如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长.
【解析】(1)连接OE，由于AM、DE是⊙O的切线，∠OAD=∠OED=90°，那么DA=DE，而OD=OD，于是可证△AOD≌△EOD，从而有∠AOD=∠EOD= ∠AOE，根据圆周角定理有∠ABE= ∠AOE，那么∠AOD=∠ABE，从而有OD∥BE;(2)连接OF，同(1)易得∠OCB=∠OCE，再由(1)得∠ADO=∠EDO，易证∠EDO+∠OCE=90°，从而可知△OCD是直角三角形，由勾股定理即可求得CD的长.
【答案】(1)证明：连接OE， ∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径，∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，∴∠AOD=∠EOD= ∠AOE， ∵∠ABE= ∠AOE，∴∠AOD=∠ABE，∴OD∥BE .
(2)由(1)得：∠AOD=∠EOD= ∠AOE，同理，有：∠BOC=∠EOC= ∠BOE， ∴∠AOD+∠EOD+∠BOC+∠EOC=180°，∴∠EOD+∠EOC=90°，∴△DOC是直角三 角形， ∴ CD=
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理，直角三角形的判定，勾股定理.解题的关键是连接OE，构造直角三角形.
26.(2012湖南衡阳市，26，8)如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm.
(1)求证：BF是⊙O的切线.
(2)若AD=8cm，求BE的长.
(3)若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形?并说明理由.
解析：(1)欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可;
(2)连接BD，在直角三角形ABD中，利用摄影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB﹣AE;
(3)连接BC.四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形.根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD;根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形.
答案：解：(1)∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，
∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切线;
(2)如图1，连接BD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角);
又∵DE⊥AB
∴AD2=AE•AB;
∵AD=8cm，AB=10cm，
AE=6.4cm，
∴BE=AB﹣AE=3.6cm;
(3)连接BC.
四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形.理由如下：
∵四边形CBFD为平行四边形，
∴BC∥FD，即BC∥AD;
∴∠BCD=∠ADC(两直线平行，内错角相等)，
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，(同弧所对的圆周角相等)，
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA;
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