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中考数学与圆有关的位置关系试题归类

[10-20 00:48:49]   来源：http://www.kmf8.com  初三数学试卷   阅读：8574次
概要： 28. ( 2012年四川省巴中市,28,10)如图10,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的圆O经过点D,E是⊙O上一点,且∠ADE=450.(1) 判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2) 若⊙O的半径为6㎝,AE=10㎝,求∠ADE的正弦值.【解析】(1)连接BD、DC，则∠DBA=∠E=450,∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=900,即△ABD是等腰直角三角形∴DC⊥AB,又∵AB∥CD∴OD⊥DC∴CD与⊙O相切.(3) 连接BE,∠ADE=∠ABE,∠AEB=900sin∠ADE= sin∠ABE=AEAB =1012 =【答案】①相切 ②【点评】本题综合考查了圆周角及推论，直线与圆的位置关系的判定，准确连接辅助线是解决问题的关键。(2012广东肇庆，24，10)如图7，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：(1)D是BC的
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28. ( 2012年四川省巴中市,28,10)如图10,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的圆O经过点D,E是⊙O上一点,且∠ADE=450.

(1) 判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2) 若⊙O的半径为6㎝,AE=10㎝,求∠ADE的正弦值.

【解析】(1)连接BD、DC，则∠DBA=∠E=450,

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=900,

即△ABD是等腰直角三角形

∴DC⊥AB,

又∵AB∥CD

∴OD⊥DC

∴CD与⊙O相切.

(3) 连接BE,∠ADE=∠ABE,∠AEB=900

sin∠ADE= sin∠ABE=AEAB =1012 =

【答案】①相切 ②

【点评】本题综合考查了圆周角及推论，直线与圆的位置关系的判定，准确连接辅助线是解决问题的关键。

(2012广东肇庆，24，10)如图7，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：

(1)D是BC的中点;

(2)△BEC ∽△ADC;

(3)AB CE=2DPAD.

【解析】由直径所对的圆周角直角及等腰三角形“三线合一”可得D是BC的中点;再利用同弧所对的圆周角相等，两角对应相等的两个三角形的相似可证出第二个结论.第三小问可由乘积式化为比例式进行转化.

【答案】证明：(1)∵AB是直径 ∴∠ADB= 90°即AD⊥BC (1分)

又 ∵AB=AC ∴D是BC的中点 (3分)

(2)在△BE C与 △ADC中，

∵∠C=∠C ∠CAD=∠CBE (5分)

∴△BEC ∽△ADC (6分)

(3)∵△BEC ∽△ADC ∴

又∵D是BC的中点 ∴2BD=2CD=BC

∴ 则 ① (7分)

在△BPD与 △ABD中，

有 ∠BDP=∠BDA

又∵AB=AC AD⊥BC

∴∠CAD=∠BAD

又∵∠CAD=∠CBE ∴∠DBP=∠DAB

∴△BPD ∽△ABD (8分)

∴ 则 ② (9分)

∴由①，②得：

∴ (10分)

【点评】本题综合地考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角直角、等腰三角形的性质，三角形的相似等知识，有一定难度.

23. (2012四川宜宾，23，10分)如图，⊙O 、⊙O 相交于点P、Q两点，其中⊙O 的半径r =2，⊙O ,的半径r = ，过点Q作CD⊥PQ,分别交⊙O 和⊙O 于点C、D，连结CP、DP，过点Q任作一直线A交⊙O 和⊙O 于A、B，连结AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E,

(1) 求证：

(2) 若PQ=2，试求∠E度数。

【解析】(1)求出PC、PD，证△PAB∽△PCD，推出 = ，代入求出即可;

(2)求出cos∠CPQ= ，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°，推出∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可.

【答案】(1)证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2= ，

∴PC=4，PD=2 ，

∵CD⊥PQ，

∴∠PQC=∠PQD=90°，

∴PC、PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，

在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，

在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，

∴△PAB∽△PCD，

∴ = = = ，

即 = .

(2)解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，

∴cos∠CPQ= ，

∴∠CPQ=60°，

∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2 ，PQ=2，

∴sin∠PDQ= ，

∴∠PDQ=45°，

∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，

又∵PD是⊙O2的直径，

∴∠PBD=90°，

∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°

在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°，

答：∠E的度数是75°.

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，相切两圆的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，圆周角定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理的能力，题目综合性比较强，是一道比较好的题目.

25.(2012广安中考试题第25题，9分)(9分)如图11，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP。

(1)求证：直线CP是⊙O的切线;(2)若BC=2 ，sin∠BCP= ，求点B到AC的距离;(3)在(2)的条件下，求△ACP的周长。

思路导引：添加直径所对的圆周角是解决问题的关键，由于题目中有锐角三角函数值，因此结合题目信息构造直角三角形，并且灵活运用锐角三角函数、勾股定理以及相似三角形的判定方法与性质是进行点到直线距离以及三角形周长的前提.

解析：(1)连接AN，

∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC，

∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠CAN=∠BCP，

∵∠CAN+∠ACN=90°，∴∠BCP+∠ACN=90°，∴CP是⊙O的切线.

(2)过点B 作BD⊥AC于点D，由(1)得BN=CN= BC= ，

∵AN⊥BC，∴sin∠CAN= ,又∠CAN=∠BCP，sin∠BCP= ，

∴ = ，AC=5，在Rt△CAN中，AN= = ，

在△CAN和△CBD中，

∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，∴△CAN∽△CBD，

∴ ，∴BD=4.

(3)在Rt△BCD中，CD= =2，

∴AD=AC—CD=5—2=3，

∵BD∥CP，

∴ ,∴CP= ,在Rt△APC中，AP= = ，

∴△APC的周长是AC+PC+AP=20;

点评：与直线型、圆构造的综合探究型问题，几何图形的特征、性质是构造算式、方程，函数式的基础，注意图形信息向数式信息的转，另外图形的转化一般化为特殊，也十分关键，进行图形的计算往往联系三角形的相似，是构造比例式，进行有关计算的前提，直角三角形的性质、勾股定理等在运算中也具有十分重要的作用.

21.(2012湖北咸宁，21，9分)如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过

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