22.(2012浙江省湖州市，22，10分)已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,DA=DC,以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于点A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC,垂足为E。
(1)求证：四边形ABED为矩形;
(2)若AB=4， ,求CF的长。
【解析】(1)根据切线的性质可得，∠DAB=900，由平行关系AD∥BC可得，∠ABE=900，又DE⊥BC, ∠BED=900，即三个角是直角，可判定四边形是矩形;
(2)分析图形，构建Rt△DEC,由(1)的结论可得，DA=DC,AB=DE,应用勾股定理可求得CF的长CF= 。
【答案】(1)∵⊙D与AB相切于点A，∴AB⊥AD，即∠DAB=900，
又∵，AD∥BC, DE⊥BC,∴∠ADE=∠DEB=900，∴四边形ABED为矩形;
(2)∵四边形ABED为矩形;∴DE=AB=4，∵DA=DC,∴点C在⊙D上，∵在⊙D中，
DE⊥BC,∴CF=2EC，又∵ ，设AD=3k,则BC=4k,∴BE=3k,EC=BC-BE=k,DC=AD=3k,由勾股定理得，DE2+EC2=DC2，即42+k2=(3k)2,解得，k=± ,负值无意义舍去，∴k= ,∴CF=2k=2 .
【点评】本题是圆、四边形、三角形的综合题目，这三部分性质得综合应用，应用时要注意结合图形，合理选择方法解题的关键.
1. (2012年四川省德阳市，第23题、.) 如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G.
⑴求证： ;
⑵求证： ;
⑶若 ，求⊙O 的半径 的长.
【解析】
(1)根据 可证 即可证得结论.
(2) 连接OC和OF, 证明 可证结论.
(3)首先证明∠FAG=∠FGA,从而得出AF=GF.进而得到AB=BG.在由
由 得到结论.
【答案】(1)∵DB是圆O的切线，AB是直径.
∴DB⊥AB. 又CH⊥AB
∴
∴
即
(2) 连接OC,OF.
∵F是BD的中点，O是AB的中点
∴
∴∠FOB=∠DAB, ∠COF=∠ACO=∠DAB
∴∠COF=∠BOF, OF=OF, OB=OC
∴
∴FC=FB.
(3)设OC=R
∵FB=FC,FE=FC
∴FC=FE
∴∠FCE=∠FEC=∠AEH.
又∠FOG+∠AEH=90°，∠G+∠FCE=90°
∴∠DAG=∠G.
∴ FA=FG.
∵ BF⊥AG
∴AB=BG.
则OG=3R. CG=
有因为
所以 ,即 , R=2
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，圆的割线定理，相似三角形的性质和判定，综合性强.解决这样的问题，恰当添加辅助线是关键.
21.(2012山东德州中考,21,10,)如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2， ，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作 ∥BE交BC于G.
(1)判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由.
(2)求线段AF的长.
21.【解析】(1)由题意可知点A是弧BE的中点，由垂径定理即可得出： OA⊥BE，又∵AG∥BE，∴OA⊥AG.所以AG和⊙O的半径垂直，直线AG与⊙O的位置关系相切.(2)要求AF的长，先由已知得出△AOB为等边三角形;在求出AD、BD的长，在Rt△BDF中由三角函数求出DF的值，然后求出AF=AD DF.
解：(1)AG与⊙O相切. ………………………………(1分)
证明：连接OA，∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴弧BA、AE、EC相等，
∴点A是弧BE的中点，
∴OA⊥BE.
又∵AG∥BE，
∴OA⊥AG.
∴AG与⊙O相切. ………………………………(5分)
(2)∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°.
又OA=OB，
∴△ABO为正三角形.……………………………(6分)
又AD⊥OB，OB=1，
∴BD=OD= ， AD= .………………………………(8分)
又∠EBC= =30，
在Rt△FBD中， FD=BD tan∠EBC= BD tan30°= ，
∴AF=AD DF= - = .………………………………(10分)
【点评】本题综合考查了圆与解直角三角形的相关知识，垂径定理和三角函数的定义考查是中考中的常考问题之一，需要重点掌握次知识.
22. (2012广州市，16， 3分)(本小题满分12分)
如图8， ⊙P 的圆心为P{-3,2}，半径为3，直线MN过点M{5,0}且平行于y轴，点N在点M的上方。
{1} 在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P`，根据作图直接写出⊙P`与直线MN的位置关系：
{2}若点N在{1}中的⊙P上。求PN的长。
【解析】(1)确定了⊙P`的圆心的位置即可画出⊙P`。看出MN与⊙P`的位置。(2)利用勾股定理可求出PN的长。
【答案】解：(1)点P{-3,2}关于y轴对称点为P`{3,2},以点P`为圆心，3为半径的圆即为所求，⊙P`与直线MN相交。
(2)NE= = .
在Rt△PNE中，PN= = 。
【点评】本题考查了图形的轴对称画图，圆中垂径定理以及勾股定理在坐标系中的应用。
23. (2012山东省临沂市，23，9分)如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=600，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC.
(1)求证：AP是⊙O的切线;
(2)求PD的长。
【解析】(1)证明AP是⊙O的切线，连接OA，只需证明半
径与直线的夹角是900，即∠PAO=900便可。
(2)CD是⊙O的直径，∴连接AD，∠ADC=900，又∠B
=600，AC=3，应用三角函数可求得PD=AD=AC∙tan300= .
解：(1)证明: 连接OA，∵∠B=600，∠AOC=2∠B=1200,
∵OA=OC,∴∠ACP=CAO=300,∴∠AOP=600,
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