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中考数学与圆有关的位置关系试题归类
11.(2012山东省荷泽市，11，3)如图，PA、PB是⊙o的切线，A、B为切点，AC是⊙o 的直径，若∠P=46°，则∠BAC=______.
【解析】因为PA、PB是⊙o的切线，所以PA=PB，OA⊥PA，又因∠P=46°，所以∠PAB=67°，所以∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°，
【答案】23°
【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.
14.(2012连云港，14，3分)如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC= °。
【解析】连结OB，OC，则OB⊥PB，OC⊥PC。则∠BOC=110°，在四边形PBOC中，根据四边形的内角和为360°，可得∠BPC=70°。
【答案】70
【点评】本题考查了圆周角与圆心角的关系以及切线的性质。
14. (2012湖南湘潭，14，3分)如图， 的一边 是⊙O的直径，请你添加一个条件，使 是⊙O的切线,你所添加的条件为 .
【解析】根据切线的定义来判断，BC⊥AB，或∠ABC=900。
【答案】BC⊥AB，或∠ABC=900。
【点评】此题考查切线的定义。圆的切线垂直于过切点的半径。
20. (2012浙江丽水8分，20题)(本题8分)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.
(1)求证：BD平分∠ABH;
(2)如果AB=12，BC=8，求圆心O到BC的距离.
【解析：】(1)欲证BD平分∠ABH，只需证∠OBD=∠DBH.连接OD，则∠OBD=∠ODB，为止只需证∠ODB=∠DBH即可.(2)过点O作OG⊥BC于点G，在Rt△OBG中，利用勾股定理即可求得OG的值.
【解】：(1)证明：连接OD.
∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF.
又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，
∴∠ODB=∠DBH.
而OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBH，
∴BD平分∠ABH.
(2)过点O作OG⊥BC于点G，则BG=CG=4，
在Rt△OBG中，OG= .
【点评】：已知圆的切线，常作过切点的半径构造直角三角形，以便于利用勾股定理求解问题.
20.(2012福州，20，满分12分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E。
(1)求证：AC平分∠DAB;
(2)若∠B=60°，CD= ，求AE的长。
解析：(1)由CD是⊙O的切线，C是切点，故优先考虑连接OC，则OC⊥CD，AD∥OC，因此易证AC平分∠DAB;(2)由∠B=60°，可联想到30°的直角三角形及用解直角三角形的方法求出AE，由∠B=60°，可得∠1=∠3=30°，因为CD= ，因此可得AC= ，从而可求得AB的长，连接OE，易知△OEA是等边三角形，故可求得AE的长，本题还可连接CE、AB等来求出AE。
答案：(1)证明：如图1，连接OC，
∵CD为⊙O的切线
∴OC⊥CD
∴∠OCD=90°
∵AD⊥CD
∴∠ADC=90°
∴∠OCD+∠ADC=180°
∴AD∥OC
∴∠1=∠2
∵OA=OC
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
即AC平分∠DAB。
(2)解法一：如图2
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
又∵∠B=60°
∴∠1=∠3=30°
在Rt△ACD中，CD=
∴AC=2CD=
在Rt△ABC中，AC=
∴
连接OE
∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE
∴△EAO是等边三角形
∴AE=OA= =4.
解法二：如图3，连接CE
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
又∵∠B=60°
∴∠1=∠3=30°
在Rt△ACD中，CD=
∴
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形
∴∠B+∠AEC=180°
又∵∠AEC+∠DEC=180°
∠DEC=∠B=60°
在Rt△CDE中，CD=
∴
∴AE=AD-DE=4.
点评：本题通过在圆中构造有关图形，考查了圆的切线等有关性质，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质及解直角三角形;考察逻辑思维能力及推理能力，具有较强的综合性，难度中等。
23(2012贵州铜仁，23，12分).如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E， AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.
(1)求证：CD∥ BF;
(2)若⊙O的半径为5， cos∠BCD= ，求线段AD的长.
【分析】(1)由BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，根据切线的性质，可得到BF⊥AB，然后利用平行线的判定得出CD∥BF
(2)由AB是圆O的直径，得到∠ADB=90º ，由圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再根据三角函数cos∠BAD= cos∠BCD= =
即可求出AD的长
【解析】(1)证明：∵BF是圆O的切线，AB是圆O的直径
∴BF⊥AB
∵CD⊥AB
∴CD∥BF
(2)解：∵AB是圆O的直径
∴∠ADB=90º
∵圆O的半径5
∴AB=10
∵∠BAD=∠BCD
∴ cos∠BAD= cos∠BCD= =
∴ =8
∴AD=8
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点.
23. (2012湖北随州，23，10分) 如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.
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